高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式课时规范练理含解析新人教版

第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式

[A组　基础对点练]

1．若α∈，sin α＝－，则cos (－α)＝(　　)

A．－     B．

C．     D．－

解析：因为α∈，sin α＝－，所以cos α＝，则cos (－α)＝cos α＝.

答案：B

2．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为(　　)

A．3     B．－3

C．1     D．－1

解析：因为α是第三象限角，故sinα＜0，cos α＜0，所以原式＝＋＝－1－2＝－3.

答案：B

3．若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值是(　　)

A．－2     B．2

C．±2     D．

解析：tan θ＋＝＋＝＝2.

答案：B

4．α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝(　　)

A．     B．－

C．     D．－

解析：因为tan α＝－，

所以＝－，

所以cos α＝－ sin α，

代入sin2α＋cos2α＝1得sinα＝±，

又α是第四象限角，所以sin α＝－.

答案：D

5．已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则sin 2α＝(　　)

A．－1     B．－

C．     D．1

解析：∵sin α－cos α＝，

∴(sin α－cos α)2＝2，

∴－2sin αcos α＝1，

∴2sin αcos α＝－1，∴sin 2α＝－1.

答案：A

6．已知sin (π＋θ)＝－cos (2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)

A．－     B．－

C．     D．

解析：∵sin (π＋θ)＝－cos (2π－θ)，

∴－sin θ＝－cos θ，∴tan θ＝.

∵|θ|<，∴θ＝.

答案：D

7．已知f(α)＝，则f的值为(　　)

A．     B．－

C．－     D．

解析：∵f(α)＝＝－cos α，

∴f＝－cos

＝－cos

＝－cos ＝－.

答案：C

8．已知α∈，sin α＝，则tan α＝__________．

解析：∵α∈，sin α＝，∴cos α＝－＝－，∴tanα＝＝－.

答案：－

9．化简：·sin ·cos ＝__________．

解析：·sin ·cos ＝·(－cos α)·(－sin α)＝－cos2α.

答案：－cos2α

10．sin750°＝________．

解析：由三角函数诱导公式sin 750°＝sin (720°＋30°)＝sin 30°＝.

答案：

11．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sin α＝，则sin β＝________．

解析：α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，

∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z，

∴sin β＝sin (π－α＋2kπ)＝sin α＝.

答案：

12．设α是第三象限角，tan α＝，则cos (π－α)＝________．

解析：因为α为第三象限角，tan α＝，所以cos α＝－，所以cos (π－α)＝－cos α＝.

答案：

[B组　素养提升练]

1．在直角坐标系中，若角α的终边经过点P(sin ，cos )，则sin (π－α)＝(　　)

A．     B．

C．－     D．－

解析：由题意得，角α的终边经过点P，即点P，则|OP|＝ ＝1，由三角函数的定义和诱导公式得sin (π－α)＝sin α＝＝－.

答案：C

2．已知锐角θ满足sin ＝，则cos 的值为(　　)

A．－     B．

C．－     D．

解析：因为sin ＝，由θ∈，可得＋∈，所以cos ＝，则sin ＝，所以cos ＝cos ＝－sin ＝－.

答案：C

3．(2020·湖南衡阳二模)已知θ∈且sin θ＋cos θ＝a，其中a∈(0，1)，则tan θ的可能取值是(　　)

A．－3     B．3或

C．－     D．－3或－

解析：sin θ＋cos θ＝a，两边平方可得2sin θ·cos θ＝a2－1，由a∈(0，1)得sin θ·cos θ＜0，

又∵θ∈，

∴cos θ＞0，∴sin θ＜0，θ∈，又由sin θ＋cos θ＝a＞0知|sin θ|＜|cos θ|，

∴θ∈，从而tan θ∈(－1，0).故选C.

答案：C

4．已知tan (π－α)＝－，且α∈，则＝(　　)

A．－     B．－

C．     D．

解析：由tan (π－α)＝－，得tan α＝.

＝

＝＝＝－.故选A.

答案：A

5．(2020·河北沧州模拟)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线4x－y＝0上，则＝(　　)

A．－     B．2

C．0     D．

解析：设点P(a，4a)(a≠0)为角θ终边上任意一点，根据三角函数的定义有tan θ＝＝4，再根据诱导公式，得＝＝＝.故选D.

答案：D

6．已知－＜x＜0，sin x＋cos x＝.

(1)求sin x－cos x的值；

(2)求的值．

解析：(1)因为sinx＋cos x＝，

所以(sin x＋cos x)2＝，即1＋2sin x cos x＝，所以2sin x cos x＝－.

因为(sin x－cos x)2＝sin2x－2sinx cos x＋cos2x

＝1－2sinx cos x＝1＋＝.①

又因为－＜x＜0，所以sin x＜0，cos x＞0，

所以sin x－cos x＜0.②

由①②可知sin x－cos x＝－.

(2)由已知条件及(1)可知

所以cos2x－sin2x

＝(cosx－sin x)(cos x＋sin x)＝×＝，

所以＝.

7．(2020·西北工大附中质检)已知α为第三象限角，且f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若f(α)＝，求tan (3π－α)的值．

解析：(1)f(α)＝＝－sin α.

(2)∵f(α)＝－sin α＝，∴sin α＝－.

又α为第三象限角，

∴cos α＝－＝－＝－，

∴tan (3π－α)＝－tan α＝－＝－2.