高考数学一轮复习第五章数列第二节等差数列及其前n项和课时规范练理含解析新人教版

第五章 数列 第二节 等差数列及其前n项和

[A组　基础对点练]

1．设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)

A．5     B．7

C．9     D．11

解析：∵{an}是等差数列，

∴a1＋a5＝2a3，即a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，

∴S5＝＝5a3＝5.

答案：A

2．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝(　　)

A．－1     B．0

C．     D．

解析：由题知，a2＋a4＝2a3＝2，又∵a2a4＝，数列{an}单调递增，∴a2＝，a4＝，∴公差d＝＝，

∴a1＝a2－d＝0.

答案：B

3．(2021·河北唐山市高三摸底考试)等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3＋a11＝4，则S13＝(　　)

A．13     B．26

C．39     D．52

解析：由等差数列的性质可知，a1＋a13＝a3＋a11＝4，

∴S13＝＝26.

答案：B

4．等差数列{an}中，a1＝1，an＝100(n≥3).若{an}的公差为某一自然数，则n的所有可能取值为(　　)

A．3，7，9，15，100

B．4，10，12，34，100

C．5，11，16，30，100

D．4，10，13，43，100

解析：由等差数列的通项公式得，公差d＝＝.又因为d∈N，n≥3，所以n－1可能为3，9，11，33，99，n的所有可能取值为4，10，12，34，100.

答案：B

5．(2020·广东六校第一次联考)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝2S4，a2＋a4＝8，则a5＝(　　)

A．6     B．7

C．8    D．10

解析：法一：设等差数列{an}的公差为d，由题意，得解得

故a5＝a1＋4d＝－2＋12＝10.

法二：因为S5＝2S4，所以a5＝S4＝S5.因为a1＋a5＝a2＋a4＝8，所以S5＝＝＝20，所以a5＝S5＝×20＝10.

答案：D

6．(2020·广东百校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1≠0，S2＝a4，则＝(　　)

A．1     B．

C．     D．

解析：设等差数列{an}的公差为d，由S2＝a4，得2a1＋d＝a1＋3d，所以a1＝2d，所以＝＝＝.

答案：B

7．(2020·安徽八校联考)在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则a4＝(　　)

A．－1     B．0

C．1     D．2

解析：法一：设数列{an}的公差为d(d≠0)，由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a1＋2d)＋(a1＋10d)－3(a1＋4d)＝10，即2a1＋6d＝10，即a1＋3d＝5，故a4＝5，所以a4＝1.

法二：设数列{an}的公差为d(d≠0)，因为an＝am＋(n－m)d，所以由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a4－d)＋(a4＋7d)－3(a4＋d)＝10，整理得a4＝5，所以a4＝1.

法三：由等差数列的性质，得2a7＋3a3－3a5＝10，所以4a5＋a3－3a5＝10，即a5＋a3＝10，则2a4＝10，即a4＝5，所以a4＝1.

答案：C

8．已知{an}是等差数列，a1＝9，S5＝S9，那么使其前n项和Sn最大的n是(　　)

A．6     B．7

C．8     D．9

解析：因为a1＞0，S5＝S9，所以公差小于零，数列{an}的散点图对应的抛物线开口向下且对称轴为x＝7，故n＝7时，Sn最大．

答案：B

9．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．

解析：设数列首项为a1，则＝1 010，故a1＝5.

答案：5

10．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋的值为________．

解析：因为{an}，{bn}为等差数列，

所以＋＝＋＝＝.

因为＝＝＝＝，

所以＋＝.

答案：

11．(2020·广东第一次模拟)等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)，…的第四项等于________．

解析：∵log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)成等差数列，

∴log3(2x)＋log3(4x＋2)＝2log3(3x)，

∴log3[2x(4x＋2)]＝log3(3x)2，

∴解得x＝4，

∴等差数列的前三项为log38，log312，log318，

∴公差d＝log312－log38＝log3，

∴数列的第四项为log318＋log3＝log327＝3.

答案：3

12．(2021·广东六校第三次联考)等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，求a9－a11的值．

解析：依题意，由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，得5a8＝120，即a8＝24，所以a9－a11＝(3a9－a11)＝(a9＋a7＋a11－a11)＝(a9＋a7)＝a8＝×24＝16.

[B组　素养提升练]

1．(2021·河北石家庄模拟)已知函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，且函数y＝f(x－2)的图象关于直线x＝1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则{an}的前100项的和为(　　)

A．－200     B．－100

C．0     D．－50

解析：由y＝f(x－2)的图象关于直线x＝1对称，

可得y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称，由数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，可得a50＋a51＝－2.

又由等差数列的性质得a1＋a100＝a50＋a51＝－2，

则{an}的前100项的和为＝－100.

答案：B

2．已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－a＝0，S2n－1＝38，则n等于__________．

解析：∵{an}是等差数列，∴2an＝an－1＋an＋1.又∵an－1＋an＋1－a＝0，∴2an－a＝0，即an(2－an)＝0.∵an≠0，∴an＝2，∴S2n－1＝(2n－1)an＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.

答案：10

3．已知数列{an}满足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*).

(1)求证数列是等差数列，并求其通项公式；

(2)设bn＝－15，求数列{|bn|}的前n项和Tn.

解析：(1)证明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)，

∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴－＝2，

∴数列是等差数列，其公差为2，首项为2，

∴＝2＋2(n－1)＝2n.

(2)由(1)知an＝2n2，∴bn＝－15＝2n－15，

则数列{bn}的前n项和Sn＝＝n2－14n.

令bn＝2n－15≤0，解得n≤7.

∴当n≤7时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Sn＝－n2＋14n.

当n≥8时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋…＋bn＝－2S7＋Sn＝－2×(72－14×7)＋n2－14n＝n2－14n＋98.

∴Tn＝

4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－2，公差为d(d∈N*).

(1)若a5＝30，求数列{an}的通项公式；

(2)是否存在d，n使Sn＝10成立？若存在，试找出所有满足条件的d，n的值，并求出数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．

解析：(1)当a5＝30时，由a5＝a1＋4d，

得30＝－2＋4d，解得d＝8，

所以an＝a1＋(n－1)d＝8n－10，

所以数列{an}的通项公式为an＝8n－10.

(2)由Sn＝10，得－2n＋d＝10，

即－4n＋dn2－dn＝20，

所以dn2－(d＋4)n－20＝0.

当n＝1时，得－24＝0不存在；

当n＝2时，得d＝14符合，

此时数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝14n－16；

当n＝3时，得d＝不符合；

当n＝4时，得d＝3符合，

此时数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝3n－5；

当n＝5时，d＝2符合，

此时数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－4；

当n＝6时，得d＝不符合；当n＝7时，得d＝不符合；

当n＝8时，得d＝不符合；当n≥9时，d＜1均不符合，

所以存在3组满足题意，其解与相应的通项公式分别为

d＝14，n＝2，an＝14n－16；

d＝3，n＝4，an＝3n－5；

d＝2，n＝5，an＝2n－4.