高中人教A版 (2019)1.4 空间向量的应用第1课时同步测试题

六　空间中点、直线和平面的向量表示 空间中直线、平面的平行

(15分钟　30分)

1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与坐标平面(　　)

A．xOy平行      B．xOz平行

C．yOz平行      D．yOz相交

【解析】选C.因为＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，所以AB∥平面yOz.

2．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则(　　)

A．l∥α       B．l⊂α

C．l⊥α        D．l⊂α或l∥α

【解析】选D.因为a·b＝0，所以l⊂α或l∥α.

3．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是________．(填序号)

【解析】因为AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，

所以可以作为平面ABC的法向量．

答案：②③

4．已知直线l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，且l∥α，则m＝________．

【解析】因为l∥α，所以l的方向向量与α的法向量垂直．所以(2，m，1) ＝2＋m＋2＝0.

解得m＝－8.

答案：－8

5．如图所示，在四棱锥S­ABCD中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．

【解析】如图，以A为原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则A(0，0，0)，D，C(1，1，0)，S(0，0，1)，

则＝，＝.

易知向量＝是平面SAB的一个法向量．

设n＝(x，y，z)为平面SDC的法向量，

则即

取x＝2，则y＝－1，z＝1，

所以平面SDC的一个法向量为(2，－1，1).

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．空间直角坐标系中，A(1，2，3)、B(－1，0，5)、C(3，0，4)、D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)

A．平行          B．垂直

C．相交但不垂直       D．无法确定

【解析】选A.因为＝(－2，－2，2)，＝(1，1，－1)，所以＝－2，所以∥.即AB∥CD.

2．已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，1)，(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则x－z＝(　　)

A．      B．－      C．－      D．1

【解析】选D.由题设，＝(－x，1，－z)，＝(－1，－1，1)，＝(2，0，1)，因为PA⊥AB，PA⊥AC，

所以·＝0，·＝0，

所以解之得x－z＝1.

3．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为(　　)

A．1∶2      B．1∶1      C．3∶1      D．2∶1

【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，PA＝a，

则B(1，0，0)，E，P(0，0，a).

设点F的坐标为(0，y，0)，

则＝(－1，y，0)，＝.

因为BF⊥PE，所以·＝0，

解得y＝，即点F的坐标为，

所以F为AD的中点，所以AF∶FD＝1∶1.

4．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则(　　)

A．α∥β          B．α与β相交但不垂直

C．α∥β或α与β重合      D. α⊥β

【解析】选C.因为n＝－3m，所以m∥n，所以α∥β或α与β重合．

【误区警示】本题容易漏掉α与β重合的情况．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α法向量的是(　　)

A．n1＝(－2，3，－1)        B．n2＝(200，－300，100)

C．n3＝(2，－3，)     D．n4＝(－2，3，0)

【解析】选ABC.因为n1＝－n，n2＝100n，n3＝n，

所以n1∥n，n2∥n，n3∥n，即n1、n2、n3都能作为α的法向量．

6．已知平面α内有一点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)

A．P(3，－2，1)       B．P

C．P       D．P

【解析】选AB.要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，即·n是否为0.对于选项A，＝(－1，1，1)，

则·n＝(－1，1，1)·(3，1，2)＝0，点P在平面α内；

对于选项B，＝，

则·n＝·(3，1，2)＝0，点P在平面α内；对于选项C，＝，

则·n＝·(3，1，2)＝6≠0，点P不在平面α内；

对于选项D，＝，

则·n＝·(3，1，2)＝12≠0，点P不在平面α内．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1).给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的一个法向量．其中正确的是________(填序号).

【解析】·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则⊥，则AB⊥AP.

·＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，

则⊥，则AP⊥AD.又AB∩AD＝A，

所以AP⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量．

答案：①②③

8．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是________，若D1E⊥EC，则AE＝________．

【解析】长方体ABCD­A1B1C1D1中以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，又AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．

则D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，2，0)，

设E(1，m，0)，0≤m≤2，则＝(1，m，－1)，＝(－1，0，－1)，所以＝－1＋0＋1＝0，

所以直线D1E与A1D所成角的大小是90°.

因为＝(1，m，－1)，＝(－1，2－m，0)，D1E⊥EC，所以·＝－1＋m(2－m)＋0＝0，解得m＝1，所以AE＝1.

答案：90°　1

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

求证：PC∥平面BAQ.

【证明】如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，为x轴的正方向建立空间直角坐标系．

根据题意，＝(1，0，0)，＝(0，0，1)，＝(0，1，0)，

故有·＝0，·＝0，

所以为平面BAQ的一个法向量．

又因为＝(0，－2，1)，且·＝0，即DA⊥PC，且PC⊄平面BAQ，故有PC∥平面BAQ.

10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，

则O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，

D1(0，0，2)，所以＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，1)，＝(－2，－2，2).

设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，

则⇒

令x＝1，则y＝1，z＝2，

所以平面PAO的一个法向量为n1＝(1，1，2).

若平面D1BQ∥平面PAO，

则n1也是平面D1BQ的一个法向量．

设Q(0，2，c)，则＝(－2，0，c)，

n1·＝0，即－2＋2c＝0，所以c＝1，

这时n1·＝－2－2＋4＝0.

所以当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.

【创新迁移】

1．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.(1)若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是________；

(2)的最小值为________．

【解析】(1)以D为空间直角坐标系的原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，

如图所示，A1(1，0，1)，E，B(1，1，0)，

因为P，Q均在平面A1B1C1D1内，

所以设P(a，b，1)，Q(m，n，1)，＝，

＝(a－1，b－1，1)，＝(m－1，n－1，1)，

因为BP⊥A1E，BQ⊥A1E，

所以

解得

所以＝(n－b，n－b，0)，＝(－1，－1，0)，

所以PQ与BD的位置关系是平行；

(2)由(1)可知：b－a＝，

＝＝

＝＝，

当a＝时， 有最小值，最小值为.

答案：(1)平行　(2)

2．如图，已知在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD.

【解析】因为PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，如图，建立空间直角坐标系，

则A(0，0，0)，B(1，0，0)，F(1，1，0)，D(0，2，0).

不妨令P(0，0，t)，所以＝(1，1，－t)，＝(1，－1，0)，

设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，

由得

令z＝1，解得x＝y＝，所以n＝.

设点G的坐标为(0，0，m)，

又E，

则＝.

要使EG∥平面PFD，只需·n＝0，

即×＋0×＋m×1＝0，即m－＝0，

解得m＝t，所以满足AG＝AP的点G即为所求．