高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式课后复习题

十五　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离

(15分钟　30分)

1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　)

A．7     B．5     C．3      D．2

【解析】选A.直线x＋2＝0，即x＝－2，为平行于y轴的直线，

所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.

2．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则c的值为(　　)

A．9          B．11或－9

C．－11         D．9或－11

【解析】选B.两平行线间的距离为d＝＝2，解得c＝－9或11.

3．两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为(　　)

A．a＝6，d＝    B．a＝－6，d＝

C．a＝6，d＝    D．a＝－6，d＝

【解析】选B.因为两条直线为平行直线，

所以2×3＝·a，解得a＝－6，

所以ax＋3y－4＝0方程为－6x＋3y－4＝0，

即2x－y＋＝0，所以d＝＝.

4．点P(m，6)到直线3x－4y－2＝0的距离不大于4，则m的取值范围是________.

【解析】依题意可知，≤4，

解得2≤m≤.

答案：

5．求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程．

【解析】设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知：

d＝＝＝.

所以|m－3|＝6，即m－3＝±6，解得m＝9或m＝－3，

故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.

(20分钟　40分)

一、单选题(每小题5分，共15分)

1．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选C.因为＝≠－，所以两直线平行，

将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，

即＝，所以|PQ|的最小值为.

2．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为(　　)

A．3    B．2    C．    D．4

【解析】选A.由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，

设该直线方程为x＋y＋c＝0，则＝，即c＝－6，所以点M在直线x＋y－6＝0上，

所以点M到原点距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3.

3．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)

A．(1，2)或(2，－1)    B．(1，2)

C．(1，－2)或(2，1)    D．(2，－1)

【解析】选A.点P在直线3x＋y－5＝0上，

设P，P到直线x－y－1＝0的距离为，

＝，＝2，

解得a＝1或a＝2，点P的坐标为(1，2)或(2，－1).

二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

4．已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　)

A．直线l的倾斜角是

B．点(，0)到直线l的距离是2

C．若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m

D．过(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0

【解析】选BD.直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝tan θ＝，故直线l的倾斜角是，A错误；点到直线l的距离d＝＝2，B正确；因为直线m：x－y＋1＝0的斜率k′＝，kk′＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，C错误；过与直线l平行的直线方程是y－2＝(x－2)，整理得：x－y－4＝0，D正确．

【补偿训练】

 若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n的可能值为(　　)

A．3　　B．－17　　C．－3　　D．17

【解析】选AB.由题意，n≠0，－＝，

所以n＝－4，所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0，由两平行直线间的距离公式得＝2，解得m＝7或m＝－13，

所以m＋n＝3或m＋n＝－17.故选AB.

三、填空题(每小题5分，共10分)

5．过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P距离为2的直线方程为__________.

【解析】由得所以直线l1与l2的交点为.

当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝1，点P到该直线的距离为1，不合题意；

当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－2＝k，即kx－y－k＋2＝0，

由于点P到所求直线的距离为2，

可得2＝，整理得3k2－4k＝0，解得k＝0或k＝.

综上，所求直线的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.

答案：y＝2或4x－3y＋2＝0

6．直线l1：2mx＋y＋4＝0恒过定点________；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为________.

【解题指南】将直线方程整理为m＋(4－2y)＝0，由此得到，解方程组可求得定点坐标；根据平行关系和l2过原点可知l2为2mx＋y＝0，根据平行直线间距离公式和二次函数性质可确定距离最大时m的值，代入整理可得结果．

【解析】由2mx＋y＋4＝0得m＋＝0，

由得，所以l1恒过定点.

设直线l2的方程为：2mx＋y＋C＝0，

因为l2过原点，所以C＝0，所以l2：2mx＋y＝0，则l1，l2之间距离d＝

＝

当m＝时min＝，

所以dmax＝.所以l2的方程为：y＝x.

答案：　y＝x

四、解答题

7．(10分)设直线l经过点A(1，0)，且与直线3x＋4y－12＝0平行．

(1)求直线l的方程；

(2)若点B(a，1)到直线l的距离小于2，求实数a的取值范围．

【解析】(1)因为直线3x＋4y－12＝0的斜率k＝－，

又直线l过点A，

所以直线l的方程为y－0＝－，

整理得3x＋4y－3＝0.

(2)点B到直线l的距离d＝，

依题意可得<2，

即<10，解得－<a<3，即a∈.