高中人教A版 (2019)第二章 直线和圆的方程本章综合与测试同步达标检测题

单元素养评价(二)(第二章)

(120分钟　150分)

一、单选题(每小题5分，共40分)

1．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为(　　)

A．2，4，4    B．－2，4，4

C．2，－4，4    D．2，－4，－4

【解析】选B.配方得(x＋a)2＋＝a2＋－c，

所以解得a＝－2，b＝4，c＝4.

2．若直线x＋y＋a＝0是圆x2＋y2－2y＝0的一条对称轴，则a的值为(　　)

A．1    B．－1    C．2    D．－2

【解析】选B.圆x2＋y2－2y＝0化为x2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(0，1)，

因为直线x＋y＋a＝0是圆x2＋y2－2y＝0的一条对称轴，所以0＋1＋a＝0，即a＝－1.

3．已知圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1与直线kx＋y＋1＝0相交于A，B两点，若△CAB为等边三角形，则k2的值为(　　)

A．3    B．4    C．5    D．6

【解析】选A.圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1的圆心为C(1，－1)，半径为1，故|CB|＝|CA|＝1，又△CAB为等边三角形，

所以点C到直线kx＋y＋1＝0的距离为，

即＝，解得k2＝3.

4．点P与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)

A．＋＝1

B．＋＝4

C．＋＝4

D．＋＝1

【解析】选A.设圆上任一点为Q，PQ中点为M，根据中点坐标公式，得

因为Q在圆x2＋y2＝4上，

所以x＋y＝4，即＋＝4，化为＋＝1.

5．过点的直线l被圆(x－1)2＋y2＝4所截得的弦长最短时，直线l的斜率为(　　)

A．1    B．－1    C．    D．－

【解析】选A.点在2＋y2＝4圆内，

要使得过点的直线l被圆2＋y2＝4所截得的弦长最短，

则该弦以为中点，与圆心和连线垂直，而圆心和连线的斜率为＝－1，所以所求直线斜率为1.

6．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A作圆C的一条切线，切点为B，则＝(　　)

A．2    B．4    C．6    D．2

【解析】选C.圆C标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2，1)，半径为r＝2，

因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，＝＝＝6.

7．圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)

A．内切    B．相交

C．外切    D．相离

【解析】选B.化简圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)⇒M(0，a)，r1＝a⇒M到直线x＋y＝0的距离d＝⇒＋2＝a2⇒a＝2⇒M(0，2)，r1＝2，又N(1，1)，r2＝1⇒|MN|＝⇒|r1－r2|＜|MN|＜|r1＋r2|⇒两圆相交．

8．已知P是直线kx＋4y－10＝0(k>0)上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为(　　)

A．    B．    C．2    D．3

【解析】选D.圆的标准方程为2＋2＝1，

则圆心为C，半径为1，则直线与圆相离，如图：

S四边形PACB＝S△PAC＋S△PBC，而S△PAC＝·＝，S△PBC＝·＝

，又＝＝，

所以当取最小值时＝取最小值，

即S△PAC＝S△PBC取最小值，此时，CP⊥l，

四边形PACB面积的最小值为2，

S△PAC＝S△PBC＝，

所以＝2，

所以＝3，

所以＝3，因为k>0，所以k＝3.

二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9．已知圆C1：(x－1)2＋y2＝1和圆C2：x2＋(y－b)2＝1，且－2＜b＜2，则两圆的位置关系可能是(　　)

A．内切    B．相交

C．外切    D．外离

【解析】选BCD.由－2<b<2，圆心距∈[1，).

所以两圆的位置关系可能是相交、外切和外离．

10．若圆2＋2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值可以是(　　)

A．4    B．5    C．    D．6

【解析】选BC.易求圆心(3，－5)，到直线4x－3y－2＝0的距离d＝5，由已知得d－1<r<d＋1，即4<r<6.

11．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，P点的坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，则切线方程可以是(　　)

A．7x－y－15＝0     B．x＋y－1＝0

C．x＝2        D．x－y＋1＝0

【解析】选AB.由已知得过点P的圆的切线斜率的存在，设切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.则圆心C(1，2)到直线的距离为，

即＝，

所以k2－6k－7＝0，所以k＝7或k＝－1.

所以所求直线的切线方程为y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)，即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.

12．如图A(2，0)，B(1，1)，C(－1，1)，D(－2，0)，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W.则下述正确的是(　　)

A.曲线W与x轴围成的面积等于2π

B．曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)

C．所在圆的方程为：x2＋(y－1)2＝1

D．与的公切线方程为：x＋y＝＋1

【解析】选BCD.曲线W与x轴构成的图形为以(0，1)圆心、1为半径的半圆加上以(1，0)为圆心，1为半径的圆，加上以(－1，0)为圆心，1为半径的圆，加上长为2，宽为1的矩形构成，

可得其面积为π＋π＋2＝2＋π≠2π，故A错误；

曲线W上有(－2，0)，(－1，1)，(0，2)，(1，1)，(2，0)共5个整点，故B正确；

是以(0，1)为圆心，1为半径的圆，其所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，故C正确；

设与的公切线方程为y＝kx＋t(k＜0，t＞0)，

由直线和圆相切的条件可得＝1＝，解得k＝－1，t＝1＋(1－舍去)，则其公切线方程为y＝－x＋1＋，即x＋y＝1＋，故D正确．

三、填空题(每小题5分，共20分)

13．已知圆C(C为圆心，且点C在第一象限)经过A(0，0)，B(2，0)，且△ABC为直角三角形，则圆C的标准方程是____________．

【解析】设圆C的半径为R，因为|CA|＝|CB|＝R，△ABC为直角三角形，所以∠C＝90°.因为点A(0，0)，B(2，0)，C在第一象限，所以C(1，1)，且R＝，故圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2

14．平面内动点P到两点A，B距离之比为常数λ(λ＞0，且λ≠1)，则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A(－2，0)，B(2，0)，λ＝，则此阿波罗尼斯圆的方程为________．

【解析】由题意，设P(x，y)，则＝，化简可得x2＋y2＋x＋4＝0.

答案：x2＋y2＋x＋4＝0

15．已知直线l：x＋y＋4＝0与圆C：x2＋y2＋2mx－6y＋1＝0，若直线l将圆C分割成面积相等的两部分，则m＝________．

【解析】圆C的方程可化为(x＋m)2＋(y－3)2＝8＋m2，圆心C(－m，3).

因为直线l将圆C分割成面积相等的两部分，

所以l：x＋y＋4＝0过圆心(－m，3)，

所以－m＋3＋4＝0，解得m＝7.

答案：7

16．已知直线y＝kx＋b与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝________；b＝________．

【解析】方法一：因为直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1，圆(x－4)2＋y2＝1都相切，所以＝＝1，得k＝，b＝－.

方法二：因为直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1，圆(x－4)2＋y2＝1都相切，所以直线y＝kx＋b必过两圆心连线的中点，所以2k＋b＝0.设直线y＝kx＋b的倾斜角为θ，则sin θ＝，又k>0，

所以θ＝，所以k＝tan ＝，b＝－2k＝－.

答案：　－

四、解答题(共70分)

17．(10分)求与x轴相切，圆心C在直线3x－y＝0上，且截直线x－y＝0得的弦长为2的圆的方程．

【解析】因为圆心C在直线3x－y＝0上，设圆心坐标为(a，3a)，圆心(a，3a)到直线x－y＝0的距离为d＝.又圆与x轴相切，

所以半径r＝3|a|，设圆的方程为(x－a)2＋(y－3a)2＝9a2，

设弦AB的中点为M，则|AM|＝.

在Rt△AMC中，由勾股定理，得2＋()2＝(3|a|)2，解得a＝±1，r2＝9.

故所求的圆的方程是(x－1)2＋(y－3)2＝9，或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.

18．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.

(1)求圆心C的坐标及半径r的大小；

(2)已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．

【解析】(1)圆C的方程变形为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，

所以圆心C的坐标为，半径为.

(2)因为直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零，

所以设直线l的方程为x＋y＋a＝0(a≠0)，

所以a＝1或a＝－3，所以所求直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.

19．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0上一点A.

(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．

【解析】(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N.

因为圆N与x轴相切，与圆M外切，

所以0<y0<7，于是圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.

因此，圆N的标准方程为2＋2＝1.

(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.

设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，

则圆心M到直线l的距离d＝＝，

因为BC＝OA＝＝2，

而MC2＝d2＋2，

所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.

故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.

20．(12分)已知△ABC的三个顶点A(－1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圆圆心为H.

(1)求圆H的方程；

(2)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；

(3)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．

【解析】(1)设圆H的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝

0，

则有解得

则圆H的方程为x2＋y2－6y－1＝0.

(2)由直线与圆位置关系得：半径，半弦长，圆心到直线距离构成勾股定理，即12＋d2＝10，

因此d＝3，又直线l过点C，故利用直线方程点斜式求解，注意先讨论斜率不存在的情况：若l⊥x轴，直线方程为x＝3，满足题意；若l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－3)＋2，圆心到直线的距离为d＝3＝，解得k＝，直线方程为4x－3y－6＝0，

综上，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0.

(3)结合图象(图略)由题意得：0<CP－r≤2r，

即r<CP≤3r恒成立，

所以

从而≤r<.

21．(12分)已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．

(1)求圆C的方程；

(2)设Q为圆C上的点，且·＝－4，求Q点坐标．

【解析】(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(－2，－2)，

则解得

则圆C的方程为x2＋y2＝r2，

将点P的坐标代入得r2＝2，

故圆C的方程为x2＋y2＝2.

(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，

·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)

＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2＝－4.

所以

解得

所以Q点的坐标为Q(－1，－1).

22．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.

(1)求圆C的方程；

(2)试求圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】(1)设圆C的圆心为C(a，b)，

则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8.

因为直线y＝x与圆C相切于原点O，

所以O点在圆C上，且OC垂直于直线y＝x，

于是有

解得或

由于点C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0，

所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.

(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，

则有

解得x＝或x＝0(舍去).

所以存在点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长．