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    高中数学课时素养评价二十六第三章圆锥曲线的方程3.3.1抛物线及其标准方程含解析新人教A版选择性必修第一册练习题
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    高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线同步练习题

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线同步练习题,共6页。试卷主要包含了O为坐标原点,F为抛物线C等内容,欢迎下载使用。

    二十六 抛物线及其标准方程

                  (15分钟 30)

    1.已知抛物线的标准方程为y2ax,则其焦点坐标为(  )

    A        B

    C       D

    【解析】A.抛物线的标准方程为y2ax,则其焦点坐标为.

    2.抛物线yx2的准线方程是(  )

    Ay=-1     By=-2     Cx=-1     Dx=-2

    【解析】A.因为yx2,所以x24y,所以抛物线的准线方程是y=-1.

    3.点M(53)到抛物线yax2准线的距离为6,那么抛物线的方程是 (  )

    Ay12x2       By12x2y=-36x2

    Cy=-36x2      Dyx2y=-x2

    【解析】D.分两类a>0a<0可得

    yx2y=-x2.

    4O为坐标原点,F为抛物线Cy24x的焦点,PC上一点,若|PF|4,则△POF的面积为(  )

    A2    B2    C2    D4

    【解析】C.抛物线C的准线方程为x=-,焦点F(0),由|PF|4及抛物线的定义知,P点的横坐标xP3,从而yP±2

    所以S△POF|OF|·|yP|××22.

    5.抛物线拱桥离水面3 m,水面宽12 m,水位下降1 m后,水面宽为多少?

    【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则抛物线方程可假设为:x2=-2py(p>0)

    因为抛物线拱桥离水面3米,水面宽12米,所以将代入抛物线方程可得366p,所以p6

    所以抛物线方程为x2=-12y.如果水面下降1 m

    则令y=-4,得x±4,所以水面宽8 m.

                  (30分钟 60)

    一、单选题(每小题5分,共20)

    1.已知曲线E的方程为ax2by2ab(ab∈R),则下列选项错误的是(  )

    A.当ab1时,E一定是椭圆

    B.当ab=-1时,E是双曲线

    C.当ab0时,E是圆

    D.当ab0a2b2≠0时,E是直线

    【解析】A.A:若ab1,假设ab1,则方程为x2y21,不是椭圆,所以A错误;B:当ab=-1时,因为a≠0b≠0,所以方程为:ax2y2=-1,即ax21,则E表示双曲线,所以B正确;C:当ab0时,方程为:x2y2a(a0)表示圆,所以C正确;D:当ab0a2b2≠0时,即 a0b≠0,方程为:y0,则E是直线;同理b0a≠0,则方程为:x0,所以E表示直线,所以D正确.

    2.抛物线x22py(p>0)的焦点F,其准线与双曲线1相交于AB两点,若△ABF为等边三角形,则p(  )

    A3    B4    C6    D8

    【解析】C.如图,

    在正三角形ABF中,DFpBDp

    所以B点坐标为

    又点B在双曲线上,故1,解得p6.

    3.如果P1P2Pn是抛物线Cy24x上的点,它们的横坐标依次为x1x2xnF是抛物线C的焦点,若x1x2xn10,则|P1F||P2F||PnF|等于(  )

    An10    Bn20    C2n10    D2n20

    【解析】A.由抛物线的方程y24x可知其焦点为(10),准线为x=-1,由抛物线的定义可知|P1F|x11|P2F|x21|PnF|xn1,所以|P1F||P2F||PnF|x11x21xn1(x1x2xn)nn10.

    4.设点A(45),抛物线x28y的焦点为FP为抛物线上与直线AF不共线的一点,则△PAF周长的最小值为(  )

    A18      B13      C12      D7

    【解析】C.因为抛物线x28y,故焦点F,准线方程为:y=-2,过点PPP1垂直于准线交准线于点P1,过点AAA1垂直于准线交准线于点A1

    根据抛物线的定义可知

    因为A

    所以5

    57C△PAF5712.

    二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0)

    5(2020·沈阳高二检测)已知抛物线y22px上一点M到其准线及对称轴的距离分别为106,则p的值可取(  )

    A1    B2    C9    D18

    【解析】BD.M(x0y0),所以有y2px0,由点M到其准线及对称轴的距离分别为106,所以有x0106,所以有可得p220p360,故p2p18.

    6(2020·三亚高二检测)已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点F重合,则(  )

    A.双曲线的实轴长为2

    B.双曲线的离心率为3

    C.双曲线的渐近线方程为y±x

    DF到渐近线的距离为

    【解析】CD.抛物线y212x的焦点F,故4b232b25,故双曲线方程为1,双曲线的实轴长为2a4A错误;双曲线的离心率为eB错误;

    双曲线的渐近线方程为y±xC正确;

    F到渐近线的距离为dD正确.

    三、填空题(每小题5分,共10)

    7.以椭圆1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________

    【解析】因为椭圆的方程为1

    所以右顶点为(40).

    设抛物线的标准方程为y22px(p>0)

    4p8

    所以抛物线的标准方程为y216x.

    答案:y216x

    8(2020·平罗高二检测)抛物线y22px上一点M的横坐标为3,且2p,则抛物线的方程为________

    【解析】抛物线的准线方程为:x=-

    所以32p解得p2

    所以抛物线的方程为:y24x.

    答案:y24x

    四、解答题(每小题10分,共20)

    9.已知抛物线y22x的焦点为F,点P是抛物线上的动点,又有点A(32),求|PA||PF|的最小值,并求此时P点的坐标.

    【解析】x3代入抛物线方程y22x

    y±.

    因为2所以A在抛物线内部.

    设抛物线上动点P到准线lx=-的距离为d

    由抛物线的定义|PA||PF||PA|d.

    PA⊥l|PA|d最小最小值为

    |PA||PF|的最小值为此时P点的纵坐标为2

    代入y22xx2所以P点的坐标为(22).

    10.如图所示,抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点Fy轴上,准线l与圆x2y21相切.

    (1)求抛物线C的方程.

    (2)若点AB都在抛物线C上,且2,求点A的坐标.

    【解析】(1)依题意,可设抛物线C的方程为x22py(p>0),其准线l的方程为y=-.

    因为准线l与圆x2y21相切

    所以圆心(00)到准线l的距离d01

    解得p2.故抛物线C的方程为x24y.

    (2)A(x1y1)B(x2y2)

    由题意得F(01)

    所以(x2y21)(x1y1)

    因为2

    所以(x2y21)2(x1y1)(2x12y1)

    代入4x8y14

    x2y11x4y1

    所以4y12y11

    解得y1x1±

    即点A的坐标为.

    【创新迁移】

    1已知P为抛物线y24x上的任意一点记点Py轴的距离为d对于定点A(45)|PA|d的最小值为________

    【解析】抛物线y24x的焦点为F(10),准线lx=-1.由题意得d|PF|1

    所以|PA|d|AF|11

    1

    当且仅当APF三点共线时

    |PA|d取得最小值1.

    答案:1

    2.已知抛物线y22px(p0)上的一点M到定点A和焦点F的距离之和的最小值等于5,求抛物线的方程.

    【解析】抛物线的准线为lx=-.

    当点A在抛物线内部时422p·

    pMMA′⊥l垂足为A′

    |MF||MA||MA′||MA|.

    AMA′共线时(|MF||MA|)min5

    5所以p3满足p

    所以抛物线方程为y26x.

    当点A在抛物线外部时422p·

    p|MF||MA||AF|

    AMF共线时取等号|AF|5

    5

    所以p1p13()

    所以抛物线方程为y22x.

    当点A在抛物线上

    p结合明显不成立.

    综上抛物线方程为y26xy22x.

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