人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课后测评

6.2.1　向量的加法运算

课后·训练提升

基础巩固

1.下列等式错误的是(　　)

A.a+0=0+a=a

B.=0

C.=0

D.

解析由向量加法可知=2.

答案B

2.已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向(　　)

A.与向量a方向相同

B.与向量a方向相反

C.与向量b方向相同

D.不确定

解析如果a和b方向相同,那么它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同;如果它们的方向相反,而a的模大于b的模,那么它们的和的方向与a的方向相同.

答案A

3.如图所示,在四边形ABCD中,,则四边形ABCD为(　　)

A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.菱形

解析∵,

∴,即.

∴四边形ABCD为平行四边形.

答案C

4.()+()+等于(　　)

A. B. C. D.

解析原式==()+()=+0=.

答案C

5.已知平行四边形ABCD,设=a,且b是一非零向量,则下列结论:①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|.其中正确的结论是(　　)

A.①③ B.②③ C.②④ D.①②

解析∵在平行四边形ABCD中,=0,=0,∴a为零向量,∵零向量和任意向量都平行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,∴①③正确,②④错误.

答案A

6.在平行四边形ABCD中,若||=||,则四边形ABCD是　　　　　.(填四边形ABCD的形状) 

解析由题意知||=||,||=||,

∴||=||.

又四边形ABCD是平行四边形,

∴四边形ABCD是矩形.

答案矩形

7.如图所示,若P为△ABC的外心,且,则四边形PACB是　　　　 (填四边形PACB的形状),∠ACB=　　　　 . 

解析因为,所以四边形ABCD是平行四边形.因为P为△ABC的外心,所以PA=PB=PC.所以四边形PACB是菱形,且△PAC与△PBC是全等的等边三角形.所以∠ACB=120°.

答案菱形　120°

8.已知在菱形ABCD中,∠DAB=60°,||=1,则||=　　　　　. 

解析在△ABD中,AD=AB=1,∠DAB=60°,

则BD=1,则||=||=1.

答案1

9.已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则|a+b+c|=　　　　　. 

解析|a+b+c|=||=||=||=2||=2.

答案2

10.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,P为平面内任意一点.

求证:=4.

证明∵

=

=4+()

=4+()+()

=4+0+0=4,

∴=4.

11.如图(1)(2),已知向量a,b,c,求作向量a+b和a+b+c.

解(1)作法:在平面内取一点O,作=a,=b,则=a+b.

(2)在平面内任意取一点O,作=b,=c,=a,则=a+b+c.

能力提升

1.已知D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中不正确的是(　　)

A.

B.=0

C.

D.

解析由向量加法的平行四边形法则可知,.

答案D

2.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,则=(　　)

A. B.

C. D.

解析.

答案B

3.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是(　　)

A.正三角形 B.锐角三角形

C.斜三角形 D.等腰直角三角形

解析由于||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=,所以△ABC为等腰直角三角形.故选D.

答案D

4.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足,则下列结论正确的是(　　)

A.P在△ABC的内部

B.P在△ABC的边AB上

C.P在AB边所在的直线上

D.P在△ABC的外部

解析,根据平行四边形法则,如图,可知点P在△ABC外部.

答案D

5.已知点G是△ABC的重心,则=　　　　　. 

解析如图,连接AG,并延长AG交BC于点E,则点E为BC的中点,延长GE到点D,使GE=ED,则=0,故=0.

答案0

6.已知|a|=3,|b|=5,则向量a+b的模的最大值是　　　　　,向量a+b的模的最小值是　　　　　. 

答案8　2

7.如图所示,已知电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力|F1|=24 N,绳BO与墙壁垂直,所受拉力|F2|=12 N.求F1和F2的合力大小.

解如图,根据向量加法的平行四边形法则,得到合力F=F1+F2=.

在△OCA中,||=24,||=12,∠OAC=60°,

∴∠OCA=90°,∴||=12.

∴F1与F2的合力大小为12 N,方向为与F2成90°角竖直向上.

8.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且BP=QC.求证:.

证明∵,

∴.

∵大小相等,方向相反,∴=0,

故+0=.