高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课后测评

6.2.3　向量的数乘运算

课后·训练提升

基础巩固

1.下列说法中正确的是(　　)

A.λa与a的方向不是相同就是相反

B.若a,b共线,则b=λa

C.若|b|=2|a|,则b=±2a

D.若b=±2a,则|b|=2|a|

解析显然当b=±2a时,必有|b|=2|a|.

答案D

2.3(2a-4b)等于(　　)

A.5a+7b B.5a-7b C.6a+12b D.6a-12b

解析利用向量数乘的运算律,可得3(2a-4b)=6a-12b.故选D.

答案D

3.已知a=5e,b=-3e,c=4e,则2a-3b+c=(　　)

A.5e B.-5e C.23e D.-23e

解析2a-3b+c=2×5e-3×(-3e)+4e=23e.

答案C

4.已知e1,e2是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的有(　　)

①a=5e1,b=7e1;②a=e1-e2,b=3e1-2e2;③a=e1+e2,b=3e1-3e2.

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

解析①中,a与b显然共线;②中,因为b=3e1-2e2=6=6a,故a与b共线;③中,设b=3e1-3e2=k(e1+e2),得无解,故a与b不共线.故选A.

答案A

5.已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则实数λ的值为(　　)

A.-1 B.2 C.-2或1 D.-1或2

解析因为A,B,C三点共线,

所以存在实数k使=k.

因为=λa+2b,=a+(λ-1)b,

所以λa+2b=k[a+(λ-1)b].

因为a与b不共线,所以

解得λ=2或λ=-1.

答案D

6.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则等于(　　)

A. B. C. D.

解析如图,

=

=)

=×2.

答案C

7.已知m,n是实数,a,b是向量,则下列说法中正确的是 (　　)

①m(a-b)=ma-mb;②(m-n)a=ma-na;

③若ma=mb,则a=b;④若ma=na,则m=n.

A.②④ B.①② C.①③ D.③④

解析①和②正确;③中,若m=0,则不能推出a=b,错误;④中,若a=0,则m,n没有关系,错误.①②正确,故选B.

答案B

8.(a+9b-2c)+(b+2c)=　　　　　. 

答案a+10b

9.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=　　　　　. 

解析∵向量a,b不平行,∴a+2b≠0,

又向量λa+b与a+2b平行,则存在唯一的实数μ,

使λa+b=μ(a+2b)成立,即λa+b=μa+2μb,则解得λ=μ=.

答案

10.计算:

(1)6(3a-2b)+9(-2a+b);

(2)a+b+a;

(3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).

解(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b.

(2)原式=a+a+b=

=a+b-a-b=0.

(3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c

=(6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c)

=6a+2b.

11.已知e1,e2是两个非零不共线的向量,a=2e1-e2,b=ke1+e2,若a与b是共线向量,求实数k的值.

解由题意知a≠0.∵a与b是共线向量,∴存在实数λ,使a=λb,∴2e1-e2=λ(ke1+e2)=λke1+λe2,

∴解得∴k=-2.

能力提升

1.已知△ABC三个顶点A,B,C及平面内一点P,若,则(　　)

A.点P在△ABC内部

B.点P在△ABC外部

C.点P在AB边所在的直线上

D.点P在线段AC上

解析∵,

∴=-2,∴点P在线段AC边上.

答案D

2.如图,在△ABC中,=a,=b,=3=2,则等于(　　)

A.-a+b B.a-b

C.a+b D.-a+b

解析

=)-=-

=-a+b.

故选D.

答案D

3.如图,AB是☉O的直径,点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,=a,=b,则等于(　　)

A.a-b B.a-b

C.a+b D.a+b

解析连接CD,OD,如图.

∵点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,

∴AC=CD,∠CAD=∠DAB=×90°=30°.

∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO=30°.

∴∠CAD=∠ADO=30°,∴AC∥DO.

由AC=CD,得∠CDA=∠CAD=30°.

∴∠CDA=∠DAO.∴CD∥AO.

∴四边形ACDO为平行四边形.

∴a+b.

答案D

4.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,则等于(　　)

A.a+b B.a+b

C.a+b D.a+b

解析∵△DEF∽△BEA,∴,

∴DF=AB,∴.

∵=a,=b,

∴(a-b),(a+b),

∴(a+b)+(a-b)=a+b.

答案D

5.已知在△ABC中,点M满足=0,若存在实数m使得=m成立,则m=　　　　　. 

解析∵=0,∴点M是△ABC的重心.

∴=3,∴m=3.

答案3

6.设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=　　　　　;若向量ka+2b与8a+kb的方向相同,则k=　　　　　. 

答案-4　4

7.如图所示,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=BD.

求证:M,N,C三点共线.

证明设=a,=b,则由向量减法的三角形法则可知a-b.

又N在BD上,且BD=3BN,

∴)=(a+b),

∴(a+b)-b

=a-b=,

∴,又直线CN与CM有公共点C,

∴M,N,C三点共线.

8.在△ABC中,点D和E分别在BC,AC上,且,AD与BE相交于点R,求证:.

证明设=m.

∵)=,∴.

∵,∴,

∴=m-1.

∵B,R,E三点共线,∴=n,

即m-1-n,

∴m-1+n=n-m.

∵不共线,

∴解得

∴.∴.