高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念复习练习题

第六章过关检测

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.若=(-1,2),=(1,-1),则=(　　)

A.(-2,3) B.(0,1) C.(-1,2) D.(2,-3)

解析因为=(-1,2),=(1,-1),

所以=(2,-3).

答案D

2.在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC的形状是(　　)

A.锐角三角形 

B.钝角三角形

C.直角三角形 

D.等腰三角形或直角三角形

解析∵最大边AC所对角为B,

又cosB=<0,

∴B为钝角,△ABC为钝角三角形.

答案B

3.已知向量a=(3,k),b=(2,-1),a⊥b,则实数k的值为 (　　)

A.- B. C.6 D.2

解析∵向量a=(3,k),b=(2,-1),a⊥b,

∴6-k=0,解得k=6.故选C.

答案C

4.已知|a|=4,b在a方向上的投影为,则a·b=(　　)

A.3 B. C.2 D.

解析∵|a|=4,b在a方向上的投影为,

∴a·b=|a||b|cos<a,b>=4×.故选B.

答案B

5.已知△ABC的外接圆的半径是3,a=3,则A等于(　　)

A.30°或150° B.30°或60°

C.60°或120° D.60°或150°

解析根据正弦定理,得=2R,sinA=,

∵0°<A<180°,∴A=30°或A=150°.

答案A

6.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a+b|=(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

解析∵向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,

∴|2a+b|2=(2a+b)2=4|a|2+|b|2+4a·b=4+4+0=8.故选A.

答案A

7.在△ABC中,已知a=,b=,A=30°,则c等于 (　　)

A.2 B.

C.2 D.以上都不对

解析∵a2=b2+c2-2bccosA,

∴5=15+c2-2×c×,

化简得c2-3c+10=0,即(c-2)(c-)=0,

∴c=2或c=.

答案C

8.设a,b为基底向量,已知向量=a-kb,=2a+b,=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于(　　)

A.-2 B.2 C.-10 D.10

解析由题意得,=(3a-b)-(2a+b)=a-2b,

∵A,B,D三点共线,∴=λ,λ∈R,

则a-kb=λ(a-2b),解得λ=1,k=2.故选B.

答案B

9.若M为△ABC所在平面内一点,且满足()·(-2)=0,则△ABC的形状为(　　)

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.正三角形 D.等腰直角三角形

解析设BC的中点为D,则-2=2-2=2.

∵满足()·(-2)=0,

∴·2=0.∴.

∴△ABC的形状是等腰三角形.故选A.

答案A

10.已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c2-b2=ab,C=,则的值为(　　)

A. B.1 C.2 D.3

解析由余弦定理得c2-b2=a2-2abcosC=a2-ab=ab,所以a=2b,所以由正弦定理得=2.

答案C

二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.

11.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则的值为　　　　　. 

解析由已知条件得=(a-2,-2),=(-2,b-2),依题意,有(a-2)(b-2)-4=0,

即ab-2a-2b=0,所以.

答案

12.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a+b+c可表示为　　　　　,a-b-c可表示为　　　　　. 

答案3e1+2e2　-e1+2e2

13.在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则的坐标为　　　　　,||的最大值为　　　　　. 

答案(x-1,y+)　+1

14.如图,在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,则=　　　　　,若=2=λ(λ∈R),且=-4,则λ的值为　　　　　. 

解析由已知条件得=3×2×cos60°=3,,则·(λ)=×3+×4-×9-×3=-4,得λ=.

答案3　

15.已知△ABC中,3a2-2ab+3b2-3c2=0,则cos C=　　　　　. 

解析由3a2-2ab+3b2-3c2=0,

得c2=a2+b2-ab.根据余弦定理,得

cosC=.

答案

16.太湖中有一小岛C,沿太湖有一条正南方向的公路,一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上,汽车行驶1 km到达B处后,又测得小岛在南偏西75°的方向上,则小岛到公路的距离是　　　　　 km. 

解析如图,由已知条件,可知∠CAB=15°,

∠CBA=180°-75°=105°,

∠ACB=180°-105°-15°=60°,

AB=1(km).

在△ABC中,由正弦定理,得,

∴BC=×sin15°=(km).

设C到直线AB的距离为d,则d=BC·sin75°=(km).

答案

17.已知=(-1,3),=(3,m),=(1,n),且,则实数n=　　　　,若,则m=　　　　　. 

答案-3　±1

三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.(14分)已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=.

(1)求|b|;

(2)当a·b=-时,求向量a与a+2b的夹角θ的值.

解(1)根据已知条件,得(a-b)·(a+b)=a2-b2=1-b2=,∴b2=,∴|b|=.

(2)∵a·b=-,∴a·(a+2b)=a2+2a·b=1-,|a+2b|==1,

∴cosθ=,

又θ∈[0,π],∴θ=.

19.(15分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2,cos B=.

(1)若b=4,求sin A的值;

(2)若△ABC的面积S△ABC=4,求b,c的值.

解(1)∵cosB=>0,0<B<π,

∴sinB=.

由正弦定理,得sinA=sinB=.

(2)∵S△ABC=acsinB=c=4,∴c=5.

由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB

=22+52-2×2×5×=17,∴b=.

20.(15分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.

(1)求B;

(2)若sin AsinC=,求C.

解(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,

所以a2+c2-b2=-ac,

由余弦定理,得cosB==-,

又B∈(0°,180°),因此B=120°.

(2)由(1)知A+C=60°, ①

所以cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC

=cosAcosC-sinAsinC+2sinAsinC

=cos(A+C)+2sinAsinC=+2×,

又因为-60°<A-C<60°,

故A-C=30°或A-C=-30°, ②

由①②得C=15°或C=45°.

21.(15分)设a=(-1,1),b=(x,3),c=(5,y),d=(8,6),且b∥d,(4a+d)⊥c.

求:(1)b和c;

(2)c在a方向上的投影;

(3)λ1和λ2,使c=λ1a+λ2b.

解(1)∵b∥d,∴6x-24=0,∴x=4.

∵4a+d=(4,10),∴由(4a+d)⊥c,

即(4a+d)·c=0,得5×4+10y=0,得y=-2.

则b=(4,3),c=(5,-2).

(2)cos<a,c>==-,

∴c在a方向上的投影为|c|cos<a,c>=-.

(3)∵c=λ1a+λ2b,∴

解得λ1=-,λ2=.

22.(15分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t).

(1)若⊥a,且||=|,求向量;

(2)若向量与向量a共线,当k>4,且tsinθ取最大值4时,求.

解(1)由题设知=(n-8,t),

∵⊥a,∴8-n+2t=0.

又|=||,∴5×64=(n-8)2+t2,

联立方程解得

当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8,

∴=(24,8)或=(-8,-8).

(2)由题设知=(ksinθ-8,t),

∵与a共线,∴-t-2(ksinθ-8)=0,

∴t=-2ksinθ+16,

tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ

=-2k.

∵k>4,∴0<<1,

∴当sinθ=时,tsinθ取得最大值.

由=4,得k=8,此时sinθ=,又θ∈,

∴θ==(4,8).

∴=(8,0)·(4,8)=32.