高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算课时训练

7.2.2　复数的乘、除运算

课后·训练提升

基础巩固

1.已知i为虚数单位,则等于(　　)

A.0 B.2i C.-2i D.4i

解析∵=-i,=i,=-i,=i,

∴=0.

答案A

2.已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=(　　)

A.-2i B.2i C.-2 D.2

解析∵zi=1+i,∴z=+1=1-i.

∴z2=(1-i)2=-2i.

答案A

3.在复平面内,复数z与对应的点关于虚轴对称,则复数z=(　　)

A.i B.i

C.-i D.-i

解析由=-i,可知该复数在复平面内对应的点为,其关于虚轴的对称点为,故复数z=i.

答案A

4.(1+i)20-(1-i)20的值是(　　)

A.-1 024 B.1 024 C.0 D.512

解析(1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.

答案C

5.若a为实数,且=3+i,则a=(　　)

A.-4 B.-3 C.3 D.4

解析因为i=3+i,

所以解得a=4.

答案D

6.已知复数z=1+i,则z2-2z=　　　　　. 

解析∵z=1+i,∴z2-2z=z(z-2)=(1+i)(1+i-2)=(1+i)(-1+i)=-3.

答案-3

7.已知=-i,则复数z=　　　　　. 

解析因为=-i,所以z==(2-3i)i=3+2i.

答案3+2i

8.若x2+x+1-i=0,则x=　　　. 

解析设x=a+bi(a,b∈R),则a2-b2+a+1+(2ab+b-1)i=0,故解得

故x=i或x=-1-i.

答案i或-1-i

9.计算:

(1);(2);

(3).

解(1)=-1-3i.

(2)

=

=i.

(3)=i6+i=-1+i.

10.已知为z的共轭复数,若z·-3i·=1+3i,求z.

解设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.

由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,

即a2+b2-3b-3ai=1+3i,则有

解得

故z=-1或z=-1+3i.

能力提升

1.设复数z=(m∈R),若z=,则m=(　　)

A.- B. C. D.-

解析∵z=i,且z=,

∴=0,解得m=-.

答案A

2.已知复数z1=i,z2=-i,则z=-z1z2+i5在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析因为z1=i,z2=-i,所以z=-i+i5=1+i,所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.

答案A

3.若a为正实数,i为虚数单位,=2,则a=(　　)

A.2 B. C. D.1

解析∵=(a+i)(-i)=1-ai,

∴=|1-ai|==2,

解得a=或a=-(舍去).

答案B

4.已知关于x的方程x2+x+p=0的两个虚根为x1,x2,且|x1-x2|=3,则实数p的值为(　　)

A.-1 B.1 C.- D.

解析依题意,不妨令x1=,x2=,则|x1-x2|==3,解得p=.

答案D

5.若复数z=的实部为3,则z的虚部为　　　　　. 

解析z=i.

由题意知=3,解得a=-1.

故z=3+i.

故z的虚部为1.

答案1

6.已知复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z=　　　　　,|z|=　　　　　. 

答案2+i或-2-i　

7.已知复数z=1+i.

(1)设ω=z2+3-4,求ω;

(2)若=1-i,求实数a,b的值.

解(1)因为z=1+i,所以=1-i,

所以ω=z2+3-4=(1+i)2+3(1-i)-4=-1-i.

(2)因为z=1+i,

所以

==1-i,

所以a+b+(a+2)i=(1-i)i=1+i,

所以解得

8.设z是虚数,w=z+是实数,且-1<w<2,求|z|的值及z的实部的取值范围.

解因为z是虚数,所以可设z=a+bi,a,b∈R,且b≠0.

所以w=z+=a+bi+=

a+i.

又w是实数,b≠0,

所以b-=0,所以a2+b2=1.

所以|z|==1,w=2a.

又-1<w<2,所以-1<2a<2,即-<a<1.

故|z|的值为1,z的实部的取值范围为.