高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 空间向量基本定理课后复习题

第三章空间向量与立体几何

§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示

3.1　空间向量基本定理

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.在四面体O-ABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为(　　)

A. B.

C. D.

答案A

解析如图所示,连接AG1并延长交BC于点E,则E为BC的中点,)=-2),-2).

因为=3=3(),所以.

则)=.

所以(x,y,z)为.

2.已知O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=,向量b=,则不能与a,b构成空间的一个基的向量是(　　)

A. B.

C. D.

答案C

解析∵a=,b=,

∴(a-b),∴与向量a,b共面,

∴,a,b不能构成空间的一组基.

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,A1C1与B1D1的交点为E,则=　　　　　. 

答案-a+b+c

解析如图,)

=)=-a+b+c.

4.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,当d=αa+βb+γc时,α+β+γ=　　　　. 

答案3

解析由已知d=(α+γ)e1+(α+β)e2+(γ+β)e3,

所以故有α+β+γ=3.

5.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=-,设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.

解连接AN,则.

由已知可得四边形ABCD是平行四边形,从而可得

=a+b,

=-=-(a+b),

又=b-c,

故=b-(b-c),

所以=-(a+b)+b-(b-c)=(-a+b+c).

等级考提升练

6.{a,b,c}为空间向量的一组基,则下列各选项中,能构成空间向量的一组基的是(　　)

A.{a,a+b,a-b}

B.{b,a+b,a-b}

C.{c,a+b,a-b}

D.{a+b,a-b,a+2b}

答案C

解析对于选项A,因为(a+b)+(a-b)=2a,所以a,a+b,a-b共面,不能构成基,排除A;

对于选项B,因为(a+b)-(a-b)=2b,所以b,a+b,a-b共面,不能构成基,排除B;

对于选项D,a+2b=(a+b)-(a-b),所以a+b,a-b,a+2b共面,不能构成基,排除D;

对于选项C,若c,a+b,a-b共面,则c=λ(a+b)+μ(a-b)=(λ+μ)a+(λ-μ)b,则a,b,c共面,与{a,b,c}为空间向量的一组基相矛盾,故c,a+b,a-b不共面,可以构成空间向量的一组基,故选C.

7.如图,在三棱锥O-ABC中,点D是棱AC的中点,若=a,=b,=c,则等于(　　)

A.a-b+c 

B.a+b-c

C.a-b+c 

D.-a+b-c

答案A

解析由题意可知=-b,

a+c,

所以a-b+c.

故选A.

8.(多选题)已知{a,b,c}是空间的一组基,下列向量中,可以与2a-b,a+b构成空间的一组基的向量是(　　)

A.2a B.-b

C.c D.a+c

答案CD

9.(多选题)若{a,b,c}是空间的一组基,则下列选项中能构成空间的一组基的是(　　)

A.{a,2b,3c} 

B.{a+b,b+c,c+a}

C.{a+2b,2b+3c,3a-9c} 

D.{a+b+c,b,c}

答案ABD

解析由于a,b,c不共面,根据空间向量基本定理可判断A,B,D中三个向量也不共面,可以构成空间的一组基.对于C,有3(2b+3c)+(3a-9c)=3(a+2b),故这三个向量是共面的,不能构成空间的一组基.

10.(多选题)给出下列命题,其中正确命题有(　　)

A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一组基

B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一组基

C.A,B,M,N是空间四点,若不能构成空间的一组基,那么点A,B,M,N共面

D.已知向量{a,b,c}是空间的一组基,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一组基

答案ABCD

解析选项A中,根据空间向量的基的概念,可得任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基,所以A正确;

选项B中,根据空间的基的概念,可得B正确;

选项C中,由不能构成空间的一组基,可得共面,

又由过相同点B,可得A,B,M,N四点共面,所以C正确;

选项D中,由{a,b,c}是空间的一组基,则基向量a,b与向量m=a+c一定不共面,所以可以构成空间的另一组基,所以D正确.故选ABCD.

11.已知S是△ABC所在平面外一点,D是SC的中点,若=x+y+z,则x+y+z=　　　　　. 

答案-

解析如图,根据条件

)=)=-,

又=x+y+z,

∴由空间向量基本定理得x+y+z=0-1+=-.

12.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于　　　　　. 

答案5

解析由题可得,

∴+2+2+2=12+22+32+2cos60°×(1×2+1×3+2×3)=25,∴||==5.

13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是CC1,BC,CD和A1C1的中点.

证明:(1)AB1∥GE,AB1⊥EH;

(2)A1G⊥平面EFD.

证明(1)设正方体棱长为1,=i,=j,=k,

则{i,j,k}构成空间的一组基.

=i+k,

i+k=,∴AB1∥GE.

k+(i+j)=-i-j+k,

∵=(i+k)·=-|i|2+|k|2=0,∴AB1⊥EH.

(2)=-k+j+i,

=i-j,=i+k,

∴

=-|j|2+|i|2=0,∴A1G⊥DF.

=-|k|2+|i|2=0,

∴A1G⊥DE.

又DE∩DF=D,∴A1G⊥平面EFD.

新情境创新练

14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC.

证明设=a,=c,=b,

有a·b=0,a·c=0,b·c=0,

则

=)

=)=)

=(-a+b+c),

=a+b.

∴(-a+b+c)·(a+b)

=(|b|2-|a|2)=0.

∴,即EF⊥AB1.同理EF⊥B1C.

∵AB1∩B1C=B1,

∴EF⊥平面B1AC.