人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课后复习题

4.5.1　函数的零点与方程的解

课后训练巩固提升

A组

1.下列各图象表示的函数没有零点的是(　　)

答案:D

2.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　　)

A.,0 B.-2,0

C. D.0

解析:当x≤1时,由f(x)=0,得2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,解得x=,不符合要求.所以函数的零点只有0.

答案:D

3.函数f(x)=2x-的零点所在的区间是(　　)

A.(1,+∞) B.

C. D.

解析:由f(x)=2x-,得f-2<0,f(1)=2-1=1>0,于是f·f(1)<0,故零点所在区间为.

答案:B

4.若函数y=x2+a存在零点,则a的取值范围是(　　)

A.a>0 B.a≤0

C.a≥0 D.a<0

解析:因为函数y=x2+a存在零点,所以x2=-a有解,所以a≤0.

答案:B

5.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

解析:函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数⇔方程|log0.5x|=的解的个数⇔函数y1=|log0.5x|与y2=的图象的交点个数.作出两个函数的图象如图所示,由图可知两个函数图象有两个交点.

答案:B

6.函数f(x)=(x2-1)(x+2)2(x2-2x-3)的零点个数是　　　　　. 

解析:f(x)=(x+1)(x-1)(x+2)2(x-3)·(x+1)=(x+1)2(x-1)(x+2)2(x-3).

可知零点为1,-1,-2,3,共4个.

答案:4

7.若函数f(x)=2x2-ax+3有一个零点为,则f(1)=　　　　　. 

解析:因为函数f(x)=2x2-ax+3有一个零点为,所以是方程2x2-ax+3=0的一个解,即2×a+3=0,解得a=5,所以f(x)=2x2-5x+3,则f(1)=2-5+3=0.

答案:0

8.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是　　　　　. 

解析:画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示,观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a<b<c.

答案:a<b<c

9.已知函数f(x)=x2-bx+3.

(1)若f(0)=f(4),求函数f(x)的零点;

(2)若函数f(x)的一个零点大于1,另一个零点小于1,求b的取值范围.

解:(1)由f(0)=f(4)得3=16-4b+3,即b=4,所以f(x)=x2-4x+3.

令f(x)=0,即x2-4x+3=0,

解得x1=3,x2=1.

所以f(x)的零点是1和3.

(2)因为f(x)的一个零点大于1,另一个零点小于1,如图.

故f(1)<0,即1-b+3<0,所以b>4.故b的取值范围为(4,+∞).

10.已知函数f(x)=x2+2mx+3m+4.

(1)若函数f(x)有且仅有一个零点,求实数m的值;

(2)若函数f(x)有两个零点且均比-1大,求实数m的取值范围.

解:(1)因为函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点,所以方程f(x)=0有两个相等的实数解.

所以Δ=0,即4m2-4(3m+4)=0,

即m2-3m-4=0,

解得m=4或m=-1.

(2)由题意,知

即解得-5<m<-1.

所以实数m的取值范围为(-5,-1).

B组

1.函数f(x)=2x+在定义域上的零点个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x>0时,有f(x)>0;当x<0时,有f(x)<0.所以函数f(x)在定义域上没有零点,故选A.

答案:A

2.若f(x)=,则函数y=f(4x)-x的零点是(　　)

A. B.- C.2 D.-2

解析:根据函数零点的概念,函数y=f(4x)-x的零点就是方程f(4x)-x=0的解,解方程f(4x)-x=0,即-x=0,得x=,故选A.

答案:A

3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(0,+∞)内单调,f(2)>0>f(1),则函数f(x)的零点个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:由函数f(x)是定义在R上的奇函数,可知f(0)=0,f(x)在区间(0,+∞)内单调,且f(2)>0>f(1).

故当x>0时,函数有一个零点,易知在其对称区间(-∞,0)内也有一个零点,故共有3个零点.

答案:D

4.若函数f(x)=x2+2mx+2m+1在区间(-1,0)和(1,2)内各有一个零点,则实数m的取值范围是(　　)

A.(-∞,1-]∪[1+,+∞)

B.(-∞,1-)∪(1+,+∞)

C.

D.

解析:函数f(x)=x2+2mx+2m+1的零点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,即函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点一个在区间(-1,0)内,一个在区间(1,2)内,根据图象列出不等式组

解得所以-<m<-.

所以m的取值范围是.

答案:D

5.函数f(x)=(lg x)2-lg x的零点为　　　　　. 

解析:由(lgx)2-lgx=0,得lgx(lgx-1)=0,

所以lgx=0或lgx=1,故x=1或x=10.

答案:1或10

6.若函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则n=　　　　　. 

解析:因为函数f(x)=3x-7+lnx在定义域上是增函数,所以函数f(x)=3x-7+lnx在区间(n,n+1)上只有一个零点.

因为f(1)=3-7+ln1=-4<0,f(2)=6-7+ln2<0,f(3)=9-7+ln3>0,所以函数f(x)=3x-7+lnx的零点位于区间(2,3)内.所以n=2.

答案:2

7.已知函数f(x)=g(x)=f(x)-a.

(1)当a=2时,求函数g(x)的零点;

(2)若函数g(x)有四个零点,求a的取值范围.

解:(1)当x>0时,由|lnx|=2,

解得x=e2或x=.

当x≤0时,由x2+4x+1=2,

解得x=-2-(舍去x=-2+),

所以函数g(x)有三个零点,分别为e2,,-2-.

(2)函数g(x)=f(x)-a的零点个数即为y=f(x)的图象与y=a的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象与y=a的图象,结合两函数图象可知,函数g(x)有四个零点时,a的取值范围是0<a≤1.

8.已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.

(1)若函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点,求实数q的取值范围;

(2)是否存在常数t(t≥0),当x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间D,且区间D的长度为12-t?

解:因为函数f(x)=x2-16x+q+3的图象的对称轴是直线x=8,

所以f(x)在区间[-1,1]上单调递减.

因为函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点,

所以必有

所以-20≤q≤12.

所以实数q的取值范围为[-20,12].

(2)0≤t<10,f(x)在区间[0,8]上单调递减,在区间[8,10]上单调递增.

①当0≤t≤6时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小,故f(t)-f(8)=12-t,即t2-15t+52=0,

解得t=,

所以t=;

②当6<t≤8时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(8)最小,

故f(10)-f(8)=12-t,解得t=8;

③当8<t<10时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小,

故f(10)-f(t)=12-t,

即t2-17t+72=0,

解得t=8或t=9,

所以t=9.

综上①②③,可知存在常数t=或8或9满足条件.