必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试练习

第5课时　三角函数

课后训练巩固提升

A组

1.函数f(x)=sin+cos的最大值为(　　)

A. B.1 C. D.

解析:由诱导公式可得cos=cos=sin,

故f(x)=sin+sin=sin.

所以函数f(x)的最大值为.

答案:A

2.若sin>0,sin(5π-θ)<0,则角θ的终边所在的象限是(　　)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

解析:∵sin>0,sin(5π-θ)<0,

∴cosθ>0,sinθ<0,

根据三角函数的定义sinθ=<0,cosθ=>0.

∴y<0,x>0.故角θ在第四象限,故选D.

答案:D

3.已知点A的坐标为(4,1),将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则点B的纵坐标为(　　)

A. B. C. D.

解析:由题意可知OA=OB=7.

设OA与x轴所成的角为α,

可知sinα=,cosα=.

所以sin=sinαcos+cosαsin.

所以点B的纵坐标为OBsin.

答案:D

4.已知sin α+cos β=,sin β-cos α=1,则sin(α-β)等于(　　)

A.- B.- C. D.

解析:由sinα+cosβ=的等式两边平方,得sin2α+cos2β+2sinαcosβ=①.

把sinβ-cosα=1的两边平方,

得sin2β+cos2α-2sinβcosα=1②.

由①+②得sin(α-β)=-.故选B.

答案:B

5.已知tan=3,则sin(3π-2θ)-2cos2θ等于(　　)

A.-1 B.- C. D.-

解析:∵tan=3,∴tanθ=,

∴sin(3π-2θ)-2cos2θ=sin2θ-2cos2θ

===-.

答案:B

6.已知cos x=,则cos 2x=　　　　　. 

解析:因为cosx=,

所以cos2x=2cos2x-1=2×-1=.

答案:

7.将函数y=cos 4x的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数的解析式是　　　　　. 

解析:函数y=cos4x的图象向左平移个单位长度得到y=cos4的图象,y=cos=sin4x.

答案:y=sin 4x

8.给出下列结论:①函数y=sin(kπ-x)(k∈Z)为奇函数;②函数y=tan的图象关于点对称;③函数y=cos的图象的一条对称轴为直线x=-;④若tan(π-x)=2,则sin2x=.其中正确结论的序号为　　　　　. 

解析:y=sin(kπ-x)=(-1)k-1sinx是奇函数,①正确;

tan≠0,②错误;

cos=-1,③正确;

由tan(π-x)=-tanx=2,可知tanx=-2.

故sin2x=,④错误.

综上可知正确结论的序号为①③.

答案:①③

9.已知α∈,且sin α=.

(1)求sin 2α的值;

(2)若sin(α+β)=-,β∈,求sin β的值.

解:(1)∵α∈,且sinα=,

∴cosα=-.∴sin2α=2sinαcosα=-.

(2)∵α∈,β∈,

∴α+β∈,又sin(α+β)=-,

∴cos(α+β)=-.

∴sinβ=sin[(α+β)-α]

=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα

=-.

10.已知函数f(x)=cos-2sin xcos x.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.

(1)解:因为f(x)=cos2x+sin2x-sin2x=sin2x+cos2x=sin,

所以f(x)的最小正周期T==π.

(2)证明:因为-≤x≤,所以-≤2x+.

所以sin≥sin=-.

所以当x∈时,f(x)≥-.

B组

1.若函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(　　)

A.y=2sin 

B.y=2sin

C.y=2sin 

D.y=2sin

解析:由题图知,A=2,周期T=2=π,

所以ω==2,y=2sin(2x+φ).

方法一:因为函数图象过点,

所以2=2sin.

所以+φ=2kπ+(k∈Z).

令k=0,得φ=-,所以y=2sin,故选A.

方法二:因为函数图象过点,

所以-2=2sin,

所以2×+φ=2kπ-,k∈Z,

即φ=2kπ-,k∈Z.令k=0,得φ=-,

所以y=2sin.故选A.

答案:A

2.如图,在扇形OAB中,半径OA=4,弦长AB=4,则该扇形的面积为(　　)

A. B.

C.8π D.4

解析:在扇形OAB中,半径OA=4,弦长AB=4,

故∠AOB=.

所以该扇形的面积为S扇形OAB=×16=.

答案:B

3.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移周期的,得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)图象的一个对称中心是(　　)

A. B. C. D.

解析:由已知周期T=π.

故可知函数f(x)=sin2x的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)=sin=sin的图象,

令2x-=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z.

故y=g(x)的一个对称中心是.

答案:D

4.4cos 50°-tan 40°=(　　)

A. B. C. D.2-1

解析:4cos50°-tan40°=4sin40°-tan40°

=

=

=

=.

答案:C

5.将函数f(x)=sin 2xcos φ+cos 2xsin φ的图象向左平移个单位长度后的图象关于原点对称,则函数f(x)在区间上的最小值为　　　　　. 

解析:由已知f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度后,得到函数y=sin2x++φ=sin的图象,再根据所得图象关于原点对称,可得+φ=kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z,由|φ|<.得φ=.

故f(x)=sin.

因为x∈,所以2x+.

所以当2x+时,f(x)=sin取得最小值为-.

答案:-

6.若f(x)=sin x+cos x在区间[a,0]上单调递增,则a的最小值是　　　　　. 

解析:f(x)=sinx+cosx=sin.

由-+2kπ≤x++2kπ,k∈Z,

得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.

当k=0时,可知f(x)的一个单调递增区间为-.

因为f(x)在区间[a,0]上单调递增,

所以0>a≥-.所以a的最小值是-.

答案:-

7.已知函数f(x)=2cossin x-(sin x-cos x)2.

(1)若x∈,求函数f(x)的值域;

(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)的图象的对称中心.

解:(1)f(x)=2cossinx-(sinx-cosx)2

=2sin2x-sin2x+2sinxcosx-cos2x

=sin2x-cos2x+2sinxcosx

=sin2x-cos2x=sin.

∵x∈,∴-≤2x-.

∴-1≤sin.

∴函数f(x)的值域是[-1,].

(2)由图象变换可知

g(x)=sinsin.

由x-=kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z.

所以所求对称中心为(k∈Z).

8.若函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x+m-1在区间上的最小值为-2.

(1)求m的值及f(x)图象的对称轴;

(2)求f(x)的单调递增区间.

解:(1)由已知得f(x)=sin2x+cos2x+m=2sin2x++m.

∵x∈,∴≤2x+,

∴当2x+,即x=时,

f(x)min=2×+m=-2.

∴m=-1.∴f(x)=2sin-1.

由2x+=kπ+,k∈Z,解得x=,k∈Z.

∴f(x)图象的对称轴为直线x=,k∈Z.

(2)由-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z.

可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.

故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.