高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性课时规范练含解析文北师大版

第二章　函数、导数及其应用

第三节　函数的奇偶性与周期性

课时规范练

A组——基础对点练

1．(2020·邯郸模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝(　　)

A．－3　　　　　　　　 B．－

C.  D．3

解析：由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.

答案：A

2．(2020·滨州二模)下列函数中，既是偶函数又在区间(1，2)内单调递减的是(　　)

A．f(x)＝  B．f(x)＝

C．f(x)＝2x＋2－x  D．f(x)＝－cos x

解析：对于A，偶函数与单调递减均不满足；对于B，f(x)＝是偶函数，又是(1，2)上的减函数，符合题意；对于C，不满足单调递减；对于D，不满足单调递减．

答案：B

3．(2020·抚顺模拟)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝(　　)

A．2  B．－2

C．－98  D．98

解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4.又f(x)在R上是奇函数，所以f(7)＝f(8－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.

答案：B

4．函数f(x)＝lg|sin x|是(　　)

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为2π的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数

D．最小正周期为2π的偶函数

解析：∵f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|sin x|，

∴函数f(x)为偶函数．

∵f(x＋π)＝lg|sin(x＋π)|＝lg|sin x|，

∴函数f(x)的周期为π.故选C.

答案：C

5．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b(b为常数)，则f(－2)＝(　　)

A．6  B．－6

C．4  D．－4

答案：A

6．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)

A．y＝ln x  B．y＝x2＋1

C．y＝sin x  D．y＝cos x

解析：A项中的函数是非奇非偶函数；B项中的函数是偶函数但不存在零点；C项中的函数是奇函数；D项中的函数既是偶函数又存在零点．

答案：D

7．设f(x)＝x＋sin x(x∈R)，则下列说法错误的是(　　)

A．f(x)是奇函数  B．f(x)在R上单调递增

C．f(x)的值域为R  D．f(x)是周期函数

解析：因为f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f′(x)＝1＋cos x≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；因为f(x)在R上单调递增，所以f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，故选D.

答案：D

8．f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝(　　)

A．－x3－ln(1－x)  B．x3＋ln(1－x)

C．x3－ln(1－x)  D．－x3＋ln(1－x)

解析：当x＜0时，－x＞0，

f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，

∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＜0时，

f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]＝x3－ln(1－x)．

答案：C

9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，求f(919)的值．

解析：∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x)的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.

10．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，求不等式f(x－2)≥0的解集．

解析：由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．

B组——素养提升练

11．若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则f(x－1)＜e－的解集为(　　)

A．(－∞，2)  B．(－∞，1)

C．(2，＋∞)  D．(1，＋∞)

解析：因为f(x)＝ex－ae－x为奇函数，所以f(0)＝1－a＝0，即a＝1，则f(x)＝ex－e－x在R上单调递增，且f(1)＝e－.则由f(x－1)＜e－，得f(x－1)＜f(1)，即x－1＜1，解得x＜2，所以不等式f(x－1)＜e－的解集为(－∞，2)．故选A.

答案：A

12．(2020·衡水调研)已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　)

A．[－1，0)  B．[0，1]

C．[－1，1]  D．[－2，2]

解析：由题意可知f(x)是偶函数，故f(－a)＝f(a)，原不等式等价于f(a)≤f(1)，即f(|a|)≤f(1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a|≤1，解得－1≤a≤1.

答案：C

13．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：法一：偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，

有f(2x－1)＜f⇔f(|2x－1|)＜f，

进而转化为不等式|2x－1|＜，

解这个不等式即得x的取值范围是.

故选A.

法二：设2x－1＝t，若f(x)在[0，＋∞)上单调递增，

则f(x)在(－∞，0)上单调递减，如图，

∴f(t)＜f，有－＜t＜，即－＜2x－1＜，

∴＜x＜，故选A.

答案：A

14．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　)

A．(－∞，－1)  B．(－1，0)

C．(0，1)  D．(1，＋∞)

解析：f(－x)＝＝，由f(－x)＝－f(x)得＝－，即1－a·2x＝－2x＋a，化简得a·(1＋2x)＝1＋2x，所以a＝1，f(x)＝.由f(x)>3得0<x<1.故选C.

答案：C

15．已知y＝f(x＋1)＋2是定义域为R的奇函数，求f(e)＋f(2－e)的值．

解析y＝f(x＋1)＋2的图像关于原点(0，0)对称，y＝f(x)是由y＝f(x＋1)＋2的图像向右平移1个单位、向下平移2个单位得到的，则y＝f(x)的图像关于点(1，－2)对称，则f(e)＋f(2－e)＝－4.

16．函数f(x)＝ex＋3x(x∈R)可表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，求g(0)的值．

解析：由题意可知h(x)＋g(x)＝ex＋3x①，用－x代替x得h(－x)＋g(－x)＝e－x－3x，因为h(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以－h(x)＋g(x)＝e－x－3x②.

由(①＋②)÷2得g(x)＝，

所以g(0)＝＝1.