高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六节幂函数二次函数课时规范练含解析文北师大版

第二章　函数、导数及其应用

第六节　幂函数、二次函数

课时规范练

A组——基础对点练

1．幂函数y＝f(x)的图像经过点(3，)，则f(x)是(　　)

A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数

D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

解析：设幂函数f(x)＝xα，代入点(3，)，得：＝3α，解得α＝，所以f(x)＝x，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．

答案：C

2．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c　　　　　　　　 B．c＜a＜b

C．b＜c＜a  D．b＜a＜c

解析：因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝＞b＝，因为y＝是减函数，所以a＝＜c＝，所以b＜a＜c.

答案：D

3．若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是(　　)

A．f(x)＝x2－2x＋1  B．f(x)＝x2－1

C．f(x)＝2x  D．f(x)＝2x＋1

解析：由存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，可得函数图像的对称轴为x＝≠0，只有f(x)＝x2－2x＋1满足题意，而f(x)＝x2－1；f(x)＝2x；f(x)＝2x＋1都不满足题意，故选A.

答案：A

4．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像如图所示，则m与n的取值情况为(　　)

A．－1＜m＜0＜n＜1

B．－1＜n＜0＜m

C．－1＜m＜0＜n

D．－1＜n＜0＜m＜1

解析：幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0＜α＜1时，图像上凸，∴0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图像可得2－1＜2n，

∴－1＜n＜0，综上所述，故选D.

答案：D

5．命题“ax2－2ax＋3＞0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．a＜0或a≥3  B．a≤0或a≥3

C．a＜0或a＞3  D．0＜a＜3

解析：若ax2－2ax＋3＞0恒成立，则a＝0或可得0≤a＜3，故当命题“ax2－2ax＋3＞0恒成立”是假命题时，a＜0或a≥3.

答案：A

6．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图像是(　　)

解析：∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，

∴a＞0，c＜0，

∴y＝ax2＋bx＋c的开口向上，且与y轴的交点(0，c)在负半轴上．故选D.

答案：D

7．已知命题p：存在n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“存在x∈R，x2＋2>3x”的否定是“任意x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是(　　)

A．p且q　　　　　　　　 B．(非p)且q

C．p且(非q)  D．(非p)且(非q)

答案：C

8．已知0<m<n<1，且1<a<b，下列各式中一定成立的是(　　)

A．bm>an  B．bm<an

C．mb>na  D．mb<na

解析：∵f(x)＝xa(a>1)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且0<m<n<1，∴ma<na，又∵g(x)＝mx(0<m<1)在R上为单调递减函数，且1<a<b，∴mb<ma.

综上，mb<na，故选D.

答案：D

9．若x＞1，xa－1＜1，则a的取值范围是________．

解析：因为x＞1，xa－1＜1，所以a－1＜0，解得a＜1.

答案：(－∞，1)

10．设函数f(x)＝则使得f(x)≤4成立的x的取值范围是________．

解析：f(x)的图像如图所示，

要使f(x)≤4，只需x≤4，∴x≤64.

答案：(－∞，64]

B组——素养提升练

11．有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；

③f(x)＝x3；④f(x)＝x.

某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(1)偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是(　　)

A．①  B．②

C．③  D．④

解析：f(x)＝x－1只满足(2)；f(x)＝x3只满足(3)；f(x)＝x只满足(3)．f(x)＝x－2是偶函数，在(－∞，0)上是增函数，但是其值域是{y|y＞0}．故选B.

答案：B

12．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　)

A．[0，4]  B．

C.  D．

解析：如图，二次函数图像的对称轴为x＝，

则f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，由图像得m∈.

答案：D

13．已知α∈，a＝(cos α)cos α，b＝(sin α)cos α，c＝(cos α)sin α，则(　　)

A．a＜b＜c  B．a＜c＜b

C．b＜a＜c  D．c＜a＜b

解析：因为α∈，所以0＜cos α＜，cos α＜sin α，根据幂函数的性质，可得(sin α)cos α＞(cos α)cos α，

根据指数函数的性质，可得(cos α)cos α＞(cos α)sin α，

所以c＜a＜b，故选D.

答案：D

14．(2020·保定模拟)已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数，函数g(x)是R上的奇函数，函数h(x)＝＋1，则h(2 018)＋h(2 017)＋h(2 016)＋…＋h(1)＋h(0)＋h(－1)＋…＋h(－2 016)＋h(－2 017)＋h(－2 018)＝(　　)

A．0  B．1

C．4 036  D．4 037

解析：因为函数f(x)既是二次函数又是幂函数，

所以f(x)＝x2，所以h(x)＝＋1，

因为g(x)是R上的奇函数，

所以h(x)＋h(－x)＝＋1＋＋1＝2，

h(0)＝＋1＝1，

因此h(2 018)＋h(2 017)＋h(2 016)＋…＋h(1)＋h(0)＋h(－1)＋…＋h(－2 016)＋h(－2 017)＋h(－2 018)＝2 018×2＋1＝4 037，选D.

答案：D

15．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________．

解析：由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图像的对称轴为x＝＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a，而f(x)在[2，＋∞)上为减函数，由f(a)≥f(0)得f(a)≥f(4)，∴a≤4，综上有0≤a≤4.

答案：[0，4]

16．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若对任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的最小值是________．

解析：由题意可得，原不等式转化为f(x)min≥g(x)min，显然，f(x)在区间[0，1]上是单调递增函数，所以f(x)min＝f(0)＝－1，

当a＜1时，g(x)min＝g(1)＝5－2a≤－1，解得a≥3，与a＜1矛盾，舍去，

当a＞2时，g(x)min＝g(2)＝8－4a≤－1，解得a≥，所以a≥，

当1≤a≤2时，g(x)min＝g(a)＝4－a2≤－1，

解得≤a或a≤－，与1≤a≤2矛盾，舍去．

综上所述，a≥，所以实数a的最小值是.

答案：