高考数学一轮复习第四章平面向量与复数第二节平面向量的数量积课时规范练含解析文北师大版

第四章　平面向量与复数

第二节　平面向量的数量积

课时规范练

A组——基础对点练

1．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)且(a－b)⊥b，则m＝(　　)

A．－8　　 B．－5　　　

C．5　　　 D．8

解析：由(a－b)⊥b知：(a－b)·b＝0，所以a·b－b2＝0，即3－2m－13＝0，所以m＝－5.

答案：B

2．(2020·新乡模拟)若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝(　　)

A．0　　　　　　　　　 B．4

C．－  D．－

解析：∵向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，

∴2k－1－4k＝0，解得k＝－，∴m＝，

∴m·n＝－2×4＋×1＝－.故选D.

答案：D

3．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为(　　)

A．12  B．8

C．－8  D．2

解析：∵|a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝3×4＝12.

答案：A

4．(2020·湖南永州模拟)已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝(　　)

A.  B．1

C.  D．2

解析：∵非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，

∴a·b＝|a|×1×＝，

∵|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝，故选A.

答案：A

5．已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　　)

A.  B．2

C．4  D．12

解析：由题得，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12.所以|a＋2b|＝2.

答案：B

6．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)

A.  B．

C.  D．π

解析：设a与b的夹角为θ，

|a|＝|b|，因为(a－b)⊥(3a＋2b)，

所以(a－b)·(3a＋2b)＝3|a|2－2|b|2－a·b＝|b|2－2|b|2－|b|2cos θ＝0，

解得cos θ＝，因为θ∈[0，π]，所以θ＝.

答案：A

7．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝(　　)

A．5  B．4

C．3  D．2

解析：由四边形ABCD是平行四边形，知＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，故·＝(2，1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.

答案：A

8．已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC＝10，AB＝8，则·的最小值为(　　)

A．－4  B．－25

C．－9  D．－16

答案：D

9．(2020·安徽淮北模拟)在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A(3，t)，B(t，－1)，C(－3，－1)，若△ABC是以B为直角顶点的直角三角形，则t＝________．

解析：由已知，得·＝0，即(3－t，t＋1)·(－3－t，0)＝0，

∴(3－t)(－3－t)＝0，解得t＝3或t＝－3，当t＝－3时，点B与点C重合，舍去．故t＝3.

答案：3

10．如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________．

解析：·＝||·||·cos ∠BAC＝1×3×＝.

又＝(＋)，所以2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)，即2＝×(1＋3＋9)＝，所以||＝.

答案：

B组——素养提升练

11．(2020·济南模拟)已知A(－1，cos θ)，B(sin θ，1)若|＋|＝|－|(O为坐标原点)，则锐角θ＝________．

解析：利用几何意义求解：由已知可得，＋是以OA，OB为邻边所作平行四边形OADB的对角线向量，－则是对角线向量，由对角线相等的平行四边形为矩形，知OA⊥OB.因此·＝0，所以锐角θ＝.

答案：

12．已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，AB∥CD，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|＋|的取值范围为________．

解析：建立如图所示的平面直角坐标系．

则A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，D(0，2)，设＝λ(0≤λ≤1)，

则M(λ，2λ)，故＝(－λ，2－2λ)，＝(2－λ，－2λ)，

则＋＝(2－2λ，2－4λ)，

|＋|＝

＝ ，

当λ＝0时，|＋|取得最大值2，当λ＝时，|＋|取得最小值为，

∴|＋|∈.

答案：

13．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．

(1)若a∥b，求x的值；

(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．

解析：(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cos x＝3sin x.

若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cos x≠0.于是tan x＝－.又x∈[0，π]，所以x＝.

(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)

＝3cos x－sin x＝2cos.

因为x∈[0，π]，所以x＋∈，

从而－1≤cos≤.

于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；

当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.

14．(2020·南昌模拟)已知向量a＝(2，2)，向量b与向量a的夹角为，且a·b＝－2.

(1)求向量b；

(2)若t＝(1，0)，且b⊥t，c＝(cos A，2cos2)，其中A，B，C是△ABC的内角，若A、B、C依次成等差数列，试求|b＋c|的取值范围．

解析：(1)设b＝(x，y)，则a·b＝2x＋2y＝－2，且|b|＝＝1＝，联立方程得，解得或.

∴b＝(－1，0)或b＝(0，－1)．

(2)∵b⊥t，且t＝(1，0)，∴b＝(0，－1)．

∵A、B、C依次成等差数列，∴B＝.

∴b＋c＝(cos A，2cos2－1)

＝(cos A，cos C)，

∴|b＋c|2＝cos2A＋cos2C

＝1＋(cos 2A＋cos 2C)

＝1＋

＝1＋

＝1＋cos.

∵A∈，∴2A＋∈，

∴－1≤cos＜，

1＋cos∈，

∴|b＋c|∈.