高考数学一轮复习第四章平面向量与复数第三节平面向量的综合应用课时规范练含解析文北师大版

第四章　平面向量与复数

第三节　平面向量的综合应用

课时规范练

A组——基础对点练

1．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是(　　)

A．等边三角形　　　　 B．等腰三角形

C．直角三角形  D．等腰直角三角形

解析：由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，

即·(＋＋)＝0，2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.

又根据已知条件不能得到||＝||，故△ABC一定是直角三角形．

答案：C

2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若＝，·＝48，则抛物线的方程为(　　)

A．y2＝8x  B．y2＝4x

C．y2＝16x  D．y2＝4x

解析：如图所示，由＝，得F为线段AB的中点，∵|AF|＝|AC|，∴∠ABC＝30°，由·＝48，得|BC|＝4.则|AC|＝4，∴由中位线的性质，有p＝|AC|＝2，故抛物线的方程为y2＝4x.故选B.

答案：B

3．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A．重心  B．内心

C．外心  D．垂心

解析：由条件，得＝λ，

从而·＝λ

＝λ(－||＋||)＝0，所以⊥，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．

答案：D

4．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面说法错误的是(　　)

A．若a与b共线，则a⊙b＝0

B．a⊙b＝b⊙a

C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)

D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝a2b2

解析：若a与b共线，则有a⊙b＝mq－np＝0，故A正确；因为b⊙a＝pn－qm，而a⊙b＝mq－np，所以有a⊙b≠b⊙a，故B项错误；(λa)⊙b＝λmq－λnp，λ(a⊙b)＝λ(mq－np)，∴(λa)⊙b＝λ(a⊙b)，故C正确；(a⊙b)2＋(a·b)2＝(mq－np)2＋(mp＋qn)2＝(p2＋q2)(m2＋n2)，a2·b2＝(p2＋q2)(m2＋n2)，故D正确．

答案：B

5．在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为________．

解析：依题意得·＝1×(－4)＋2×2＝0，所以⊥，所以四边形ABCD的面积为||·||＝××＝5.

答案：5

6．(2020·太原质检)设G为△ABC的重心，且sin A·＋sin B·＋sin C·＝0，则角B的大小为________．

解析：∵G是△ABC的重心，

∴＋＋＝0，＝－(＋)，

将其代入sin A·＋sin B·＋sin C·＝0，

得(sin B－sin A)＋(sin C－sin A)＝0.

又，不共线，

∴sin B－sin A＝0，sin C－sin A＝0.

则sin B＝sin A＝sin C.

根据正弦定理知，b＝a＝c，

∴△ABC是等边三角形，则B＝60°.

答案：60°

7.如图，A是半径为5的圆C上的一个定点，单位向量在A点处与圆C相切，点P是圆C上的一个动点，且点P与点A不重合，则·的取值范围是________．

解析：如图所示，以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

设点P(x，y)，B(1，0)，A(0，0)，

则＝(1，0)，＝(x，y)，

所以·＝(x，y)·(1，0)＝x.

因为点P在圆x2＋(y－5)2＝25上，

所以－5≤x≤5，即－5≤·≤5.

答案：[－5，5]

8．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且＝，则||＝________．

解析：画出图形如图所示．由题意得抛物线的焦点F(0，1)，准线为y＝－1.

设抛物线的准线与y轴的交点为E，过M作准线的垂线，垂足为Q，交x轴于点P.

由题意得△NPM∽△NOF，又＝，即M为FN的中点，

∴||＝|OF|＝，|OP|＝ ＝，

∴||＝＋1＝，|ON|＝2|OP|＝2，

∴||＝||＝.

又＝＝，

即＝＝，解得||＝3.

答案：3

9．已知A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边，向量m＝(，cos A＋1)，n＝(sin A，－1)，m⊥n.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝2，cos B＝，求b的值．

解析：(1)∵m⊥n，

∴m·n＝sin A＋(cos A＋1)×(－1)＝0，

∴sin A－cos A＝1，∴sin＝.

∵0<A<π，∴－<A－<，

∴A－＝，∴A＝.

(2)在△ABC中，A＝，a＝2，cos B＝，

∴sin B＝＝ ＝.

由正弦定理知＝，

∴b＝＝＝.

B组——素养提升练

10．记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝c·(a＋2b－2c)＝2，则(　　)

A．|a－c|max＝　　　 B．|a＋c|max＝

C．|a－c|min＝  D．|a＋c|min＝

解析：由已知可得a·b＝|a||b|cos θ＝2，cos θ＝，θ＝，建立平面直角坐标系，a＝＝(2，0)，

b＝＝(1，)，c＝＝(x，y)，

由c·(a＋2b－2c)＝2，

可得(x，y)·(4－2x，2－2y)＝2，

即4x－2x2＋2y－2y2＝2，

化简得C点轨迹为(x－1)2＋＝，

则|a－c|＝ ，

转化为圆上点与(2，0)的距离

|a－c|max＝＋＝.

答案：A

11.如图所示，在△ABC中，AD＝DB，点F在线段CD上，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则＋的最小值为(　　)

A．6＋2  B．6

C．6＋4  D．3＋2

解析：由题意知＝xa＋yb＝2x＋y，

因为C，F，D三点共线，所以2x＋y＝1，即y＝1－2x.

由题图可知x＞0且x≠1.

所以＋＝＋＝.

令f(x)＝，则f′(x)＝，

令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝－－1(舍)．

当0＜x＜－1时，f′(x)＜0，

当x＞－1且x≠1时，f′(x)＞0.

所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，亦为最小值，最小值为f(－1)＝＝3＋2.

答案：D

12．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________．

答案：－

13．(2020·德州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.

(1)求sin A的值；

(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．

解析：(1)由m·n＝－，得

cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，

所以cos A＝－.因为0＜A＜π，

所以sin A＝ ＝ ＝.

(2)由正弦定理，得＝，

则sin B＝＝＝，因为a＞b，所以A＞B，且B是△ABC一内角，则B＝.

由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，

解得c＝1，c＝－7舍去，故向量在方向上的投影为||cos B＝ccos B＝1×＝.