高考数学一轮复习第五章数列第三节等比数列及其前n项和课时规范练含解析文北师大版

第五章　数列

第三节　等比数列及其前n项和

课时规范练

A组——基础对点练

1．(2020·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝(　　)

A．4　　　　　　　　　　　 B．

C．2   D.

解析：由题意，得解得或(舍去)，故选C.

答案：C

2．(2020·重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝14，a3＝8，则a6＝(　　)

A．16  B．32

C．64  D．128

解析：由题意得，等比数列的公比为q，由S3＝14，a3＝8，则解得a1＝2，q＝2，所以a6＝a1q5＝2×25＝64，故选C.

答案：C

3．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)

A．21  B．42

C．63  D．84

解析：设数列{an}的公比为q，则a1(1＋q2＋q4)＝21，又a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故选B.

答案：B

4．(2020·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：由题意得a4a14＝(2)2＝8，由等比数列的性质，得a4a14＝a7a11＝8，∴log2a7＋log2a11＝log2(a7a11)＝log28＝3，故选C.

答案：C

5．在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝(　　)

A．1  B．±1

C．2  D．±2

解析：因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，则a1＝＝1，故选A.

答案：A

6．在公比为的等比数列{an}中，若sin(a1a4)＝，则cos(a2a5)的值是(　　)

A．－   B.

C.   D.

解析：由等比数列的通项公式可知a2a5＝(a1a4)q2＝2(a1a4)，cos(a2a5)＝1－2sin2(a1a4)＝1－2×＝.

答案：B

7．(2020·临沂模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为(　　)

A．－   B.

C．－   D.

解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，又因为{an}是等比数列，所以a＋＝，所以a＝－.

答案：A

8．(2020·贵阳适应性考试)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，a2a6＝8(a4－2)，则S2 019＝(　　)

A．22 018－  B．1－

C．22 019－  D．1－

解析：由等比数列的性质及a2a6＝8(a4－2)，得a＝8a4－16，解得a4＝4.又a4＝q3，故q＝2，所以S2 019＝＝22 018－，故选A.

答案：A

9．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________．

解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由题意得－1＋3d＝－q3＝8⇒d＝3，q＝－2⇒＝＝1.

答案：1

10．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝________．

解析：设数列{an}的公比为q，则q3＝＝，解得q＝，a1＝＝4.易知数列{anan＋1an＋2}是首项为a1a2a3＝4×2×1＝8，公比为q3＝的等比数列，所以a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝＝(1－2－3n)．

答案：(1－2－3n)

B组——素养提升练

11．(2020·青州市模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲(水生植物名)生一日，长三尺；莞(植物名，俗称水葱、席子草)生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为________日．(结果保留一位小数．参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)

A．1.3  B．1.5

C．2.6  D．2.8

解析：设蒲(水生植物名)的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An.莞(植物名)的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn.

则An＝，Bn＝，

令＝，即2n＋＝7，解得2n＝6，2n＝1(舍去)．

∴n＝＝1＋≈2.6.

∴估计2.6日蒲、莞长度相等．

答案：C

12．若数列{an＋1－an}是等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，则an＝__________．

解析：∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3，

∴an＋1－an＝3n－1，∴an－a1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－1－an－2＋an－an－1＝1＋3＋…＋3n－2＝，

∵a1＝1，∴an＝.

答案：

13．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.

(1)证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；

(2)证明＋＋…＋<.

证明：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3(an＋)．

又a1＋＝，所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列．

所以an＋＝，

因此{an}的通项公式为an＝.

(2)由(1)知＝.

因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，

所以≤.

于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝＜.

所以＋＋…＋＜.

14．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．

(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

解析：(1)证明：因为an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，

所以an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．

因为a1＝5，a2＝5，

所以a2＋2a1＝15，

所以an＋2an－1≠0(n≥2)，

所以＝3(n≥2)，

所以数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．

(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，

则an＋1＝－2an＋5×3n，

所以an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．

又因为a1－3＝2，所以an－3n≠0，

所以{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．

所以an－3n＝2×(－2)n－1，

即an＝2×(－2)n－1＋3n.