高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第一节不等式的性质及一元二次不等式课时规范练含解析文北师大版

第六章　不等式、推理与证明

第一节　不等式的性质及一元二次不等式

课时规范练

A组——基础对点练

1．若a>b>0，则下列不等式不成立的是(　　)

A.<　　　　　　　 B．|a|>|b|

C．a＋b<2  D．<

解析：∵a>b>0，∴<，且|a|>|b|，

a＋b>2，又f(x)＝是减函数，

∴<.故C项不成立．

答案：C

2．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则(　　)

A.－＞0  B．sin x－sin y＞0

C．()x－()y＜0  D．ln x＋ln y＞0

答案：C

3．若a>b，则下列各式正确的是(　　)

A．a·lg x>b·lg x  B．ax2>bx2

C．a2>b2  D．a·2x>b·2x

解析：已知a>b，选项A，由已知不等式两边同乘lg x得到，由不等式的性质可知，当lg x>0时，a·lg x>b·lg x；当lg x＝0时，a·lg x＝b·lg x；当lg x<0时，a·lg x<b·lg x．故该选项不正确．

选项B，由已知不等式两边同乘x2得到，由不等式的性质可知，当x2>0时，ax2>bx2；当x2＝0时，ax2＝bx2.故该选项不正确．

选项C，由已知不等式两边平方得到，由不等式的性质可知，当a>b>0时，a2>b2；当a>0>b且|a|<|b|时，a2<b2.故该选项不正确．

选项D，由已知不等式两边同乘2x得到，且2x>0，所以a·2x>b·2x.故该选项正确．

答案：D

4．设a，b∈R，若a＋|b|＜0，则下列不等式成立的是(　　)

A．a－b＞0  B．a3＋b3＞0

C．a2－b2＜0  D．a＋b＜0

解析：当b≥0时，a＋b＜0；当b＜0时，a－b＜0，所以a＜b＜0，所以a＋b＜0.

答案：D

5．(2020·运城模拟)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)

A．ac＞bd  B．ac＜bd

C．ad＜bc  D．ad＞bc

解析：根据c＜d＜0，有－c＞－d＞0，由于a＞b＞0，两式相乘有－ac＞－bd，ac＜bd.

答案：B

6．函数f(x)＝的定义域是(　　)

A．(－∞，1)∪(3，＋∞)  B．(1，3)

C．(－∞，2)∪(2，＋∞)  D．(1，2)∪(2，3)

解析：由题意得－x2＋4x－3＞0，即x2－4x＋3＜0，所以1＜x＜3，又ln(－x2＋4x－3)≠0，即－x2＋4x－3≠1，所以x2－4x＋4≠0，所以x≠2.故函数定义域为(1，2)∪(2，3)．

答案：D

7．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)

A．a>0，4a＋b＝0  B．a<0，4a＋b＝0

C．a>0，2a＋b＝0  D．a<0，2a＋b＝0

解析：∵f(0)＝f(4)>f(1)，

∴c＝16a＋4b＋c>a＋b＋c，

∴16a＋4b＝0，即4a＋b＝0，

且15a＋3b>0，即5a＋b>0，

而5a＋b＝a＋4a＋b，∴a>0.故选A.

答案：A

8．(2020·蓉城名校高三第一次联考)已知a＝4cos ，b＝3sin ，c＝3cos ，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c＜a＜b  B．b＜c＜a

C．b＜a＜c  D．a＜c＜b

解析：因为＝＝tan ＜tan＝1，且b＝3sin ＞0，c＝3cos＞0，所以b＜c；设f(x)＝cos x，x∈(0，)，则f′(x)＝－cos x－sin x＝－(cos x＋sin x)＜0，x∈(0，)，所以函数f(x)在(0，)上单调递减，所以f()＜f()，即3cos ＜4cos ，即c＜a.所以b＜c＜a，故选B.

答案：B

9．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为__________．

解析：依题意知，解得a＝－12，c＝2，∴不等式－cx2＋2x－a>0，即为－2x2＋2x＋12>0，即x2－x－6<0，解得－2<x<3.所以不等式的解集为(－2，3)．

答案：(－2，3)

10．已知角α，β满足－＜α－β＜，0＜α＋β＜π，则3α－β的取值范围是________．

解析：设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)＝(m＋n)α＋(n－m)β，

则解得

因为－＜α－β＜，0＜α＋β＜π，所以－π＜2(α－β)＜π，故－π＜3α－β＜2π.

答案：(－π，2π)

B组——素养提升练

11．已知a＞b＞0，则 －与 的大小关系是(　　)

A.－＞   B．－＜

C.－＝   D．无法确定

解析：(－)2－()2＝a＋b－2 －a＋b＝2(b－)＝2 (－)，因为a＞b＞0，所以 －＜0，所以(－)2－()2＜0，所以 －＜ .

答案：B

12．已知下列不等式：①x2－4x＋3＜0；②x2－6x＋8＜0；③2x2－9x＋a＜0，且使不等式①②成立的x也满足③，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≥  B．a≤10

C．a≤9  D．a≥－4

解析：联立①②得即解得2＜x＜3，所以2＜x＜3也满足③2x2－9x＋a＜0，所以③的解集非空且(2，3)是③的解集的子集．令f(x)＝2x2－9x＋a，即2＜x＜3时，f(x)max＜0，又f(x)的对称轴为x＝.由f(x)＝2x2－9x＋a＜0，得f(2)＝8－18＋a≤0，且f(3)＝18－27＋a≤0，解得a≤9.

答案：C

13．(2020·河南新乡一模)设函数f(x)＝e－x－ex－5x，则不等式f(x2)＋f(－x－6)＜0的解集为(　　)

A．(－3，2)

B．(－∞，－3)∪(2，＋∞)

C．(－2，3)

D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)

解析：∵f(－x)＝ex－e－x＋5x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∵f(x2)＋f(－x－6)＜0，即f(x2)＜－f(－x－6)＝f(x＋6)．由f(x)的图像(图略)知，f(x)是减函数，∴f(x2)＜f(x＋6)，∴x2＞x＋6，解得x＜－2或x＞3.故不等式f(x2)＋f(－x－6)＜0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．

答案：D

14．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－4]  B．[－4，＋∞)

C．[－4，3]  D．[－4，3)

解析：不等式x2－2x－3≤0的解集为[－1，3]，假设的解集为空集，

则不等式x2＋4x－(a＋1)≤0的解集为集合{x|x<－1或x>3}的子集，因为函数f(x)＝x2＋4x－(a＋1)的图像的对称轴方程为x＝－2，所以必有f(－1)＝－4－a>0，即a<－4，则使的解集不为空集的a的取值范围是a≥－4.

答案：B

15．已知－<a<0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝，D＝，则A，B，C，D的大小关系是__________．

解析：令a＝－，则A＝，B＝，C＝，D＝，所以D<B<A<C.

答案：D<B<A<C

16．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________．

解析：当x≥0时，f(x)＝x2－4x<5的解集为[0，5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)<5的解集为(－5，5)．所以f(x＋2)<5的解集为(－7，3)．

答案：(－7，3)