高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第二节二元一次不等式组与简单的线性规划问题课时规范练含解析文北师大版

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第六章　不等式、推理与证明第二节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练A组——基础对点练1．下列各点中，与点(2，2)位于直线x＋y－1＝0的同一侧的是(　　)A．(0，0)　　　　　　　　 B．(－1，1)C．(－1，3)  D．(2，－3)解析：点(2，2)使x＋y－1＞0，点(－1，3)使x＋y－1＞0，所以此两点位于x＋y－1＝0的同一侧．答案：C2．(2020·铁岭模拟)已知变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为(　　)A．1　　　　　　　　　　 B．2C．3  D．4解析：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为(0，1)，(1，0)，(－1，－2)，验证知当直线z＝2x＋y过点A(1，0)时，z最大是2.答案：B3．(2020·大连模拟)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(　　)A.  B．(0，1]C.  D．(0，1]∪解析：不等式组表示的平面区域如图(阴影部分)，求得A，B两点的坐标分别为和(1，0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是0＜a≤1或a≥.答案：D4．若函数y＝log2x的图像上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)A.　　　　　　　　　 B．1C.  D．2解析：如图，作出不等式组表示的可行域，当函数y＝log2x的图像过点(2，1)时，实数m有最大值1.答案：B5．(2020·石家庄模拟)已知x，y满足约束条件则下列目标函数中，在点(4，1)处取得最大值的是(　　)A．z＝x－y  B．z＝－3x＋yC．z＝x＋y  D．z＝3x－y解析：画的线性区域，求得A，B，C三点坐标为(4，1)、(1，4)、(－4，－1)，由于只在(4，1)处取得最大值，否定A、B、C.答案：D6．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)A．－3  B．1C.  D．3解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则m>－1.由解得即A(1－m，1＋m)．由解得即B.因为S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)·＝(m＋1)2＝，所以m＝1或m＝－3(舍去)，故选B.答案：B7．已知x，y满足条件则z＝的最大值为(　　)A．2  B．3C．－  D．－解析：作出可行域(图略)，问题转化为区域上哪一点与点M(－3，1)连线斜率最大，观察知点A使kMA最大，zmax＝kMA＝＝3.答案：B8．设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是(　　)A．－15  B．－9C．1  D．9解析：法一：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15，选A.法二：易求可行域顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z的值依次为1，－15，9，故最小值为－15.答案：A9．若关于x，y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为________．解析：直线kx－y＋1＝0过点(0，1)，要使不等式组表示的区域为等腰直角三角形，只有直线kx－y＋1＝0垂直于y轴(如图(1))或与直线x＋y＝0垂直(如图(2))时才符合题意．所以S＝×1×1＝或S＝××＝.答案：或10．(2020·兰州诊断)已知x，y满足约束条件则x2＋y2的最小值是________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示，x2＋y2表示平面区域内的点到坐标原点的距离的平方．由题意知，当以原点为圆心的圆与直线3x＋4y－4＝0相切时，x2＋y2取得最小值，即 ＝＝，所以(x2＋y2)min＝.答案：B组——素养提升练11．(2020·太原模拟)已知点(x，y)所在的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)，若使目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数多个，则a的值为(　　)A．4  B．C.  D．解析：因为目标函数z＝ax＋y，所以y＝－ax＋z，易知z是直线y＝－ax＋z在y轴上的截距．分析知当直线y＝－ax＋z的斜率与直线AC的斜率相等时，目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数多个，此时－a＝＝－，即a＝，故选D.答案：D12．(2020·开封模拟)已知实数x，y满足约束条件则z＝()x－2y的最大值是(　　)A.  B．C．32  D．64解析：法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u＝x－2y，由图知，当直线u＝x－2y经过点A(1，3)时，u取得最小值，即umin＝1－2×3＝－5，此时z＝()x－2y取得最大值，即zmax＝()－5＝32，故选C.法二：由题易知z＝()x－2y的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出顶点A，B，C的坐标分别代入z＝()x－2y，即可求得最大值．联立得解得A(1，3)，代入可得z＝32；联立得解得B(1，－)，代入可得z＝；联立得解得C(－2，0)，代入可得z＝4.通过比较可知，在点A(1，3)处，z＝()x－2y取得最大值32，故选C.答案：C13．(2020·福州模拟)不等式组的解集记为D.有下面四个命题：p1：任意(x，y)∈D，x－2y≥2；p2：存在(x，y)∈D，x－2y≥3；p3：任意(x，y)∈D，x－2y≥；p4：存在(x，y)∈D，x－2y≤－2.其中的真命题是(　　)A．p2，p3  B．p1，p4C．p1，p2  D．p1，p3解析：不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由解得所以M(，)．由图可知，当直线z＝x－2y过点M(，)时，z取得最小值，且zmin＝－2×＝，所以真命题是p2，p3，故选A.答案：A14．(2020·桂林模拟)若直线ax－y－a＋3＝0将x，y满足的不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则z＝4x－ay的最大值是(　　)A．－8  B．2C．4  D．8解析：由直线ax－y－a＋3＝0，得a(x－1)＋(3－y)＝0，此直线恒过点C(1，3)．不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由解得B(3，4)．由解得A(－1，2)，可得C(1，3)是AB的中点．若直线ax－y－a＋3＝0将阴影部分所表示的平面区域分成面积相等的两部分，则直线过顶点M(0，1)．将M(0，1)代入ax－y－a＋3＝0，解得a＝2.z＝4x－ay＝4x－2y，即y＝2x－.易知当y＝2x－经过点B时，目标函数取得最大值，且最大值为4×3－2×4＝4.故选C.答案：C15．已知x，y满足约束条件则z＝的范围是__________．解析：画出满足条件的平面区域，如图所示：由解得A(1，2)，由解得B(3，1)，而z＝＝1＋，而z＝的几何意义表示过平面区域内的点与C(－1，－1)的直线的斜率，显然直线AC斜率最大，直线BC斜率最小，kAC＝＝，kBC＝＝，所以z＝的最大值是1＋＝，最小值为1＋＝.答案：16．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________. 甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128解析：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，则目标函数为z＝3x＋4y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．由z＝3x＋4y得y＝－x＋，平移直线y＝－x＋，由图像可知当直线y＝－x＋经过点A时，直线y＝－x＋在y轴上的截距最大，此时z最大，解方程组得即A点的坐标为(2，3)，所以zmax＝3x＋4y＝6＋12＝18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元．答案：18万元