高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式当堂检测题
展开课后素养落实(十) 基本不等式的证明
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.下列不等式中正确的是( )
A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab
C.≥ D.x2+≥2
D [a<0,则a+≥4不成立,故A错;
a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错;
a=4,b=16,则<,故C错;
由基本不等式可知D项正确.]
2.(多选题)已知a>0,b>0,则下列不等式中正确的是( )
A.ab≤2 B.ab≤
C.≥ D.≤2
ABC [由基本不等式知A、C正确,由重要不等式知B正确,由≥ab得,ab≤2,∴≥2.]
3.若a,b∈R且ab>0,则下列不等式中恒成立的是( )
A.a2+b2>2ab B.a+b≥2
C.+> D.+≥2
D [∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A错误;
对于B,C,当a<0,b<0时,显然错误;
对于D,∵ab>0,∴+≥2=2,
当且仅当a=b=1时,等号成立.]
4.若0<a<b且a+b=1,则下列四个数中最大的是( )
A. B.a2+b2
C.2ab D.a
B [a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2·2=.
a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴a2+b2≥2ab.
∵0<a<b且a+b=1,∴a<.∴a2+b2最大.]
5.当x>0时,f(x)=的最大值为( )
A. B.1
C.2 D.4
B [∵x>0,∴f(x)==≤=1,
当且仅当x=,即x=1时取等号.故选B.]
二、填空题
6.已知a>b>c,则与的大小关系是________.
≤ [∵a>b>c,
∴a-b>0,b-c>0,
∴≤=.]
7.某工厂第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________.
x≤ [用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1+a)(1+b),A(1+x)2,则有(1+x)2=(1+a)(1+b).
∴1+x=≤=1+,
∴x≤.当且仅当a=b时等号成立.]
8.已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=________,最小值为________.
36 24 [f(x)=4x+≥2(x>0,a>0),当且仅当4x=,即x=时等号成立,此时f(x)取得最小值4,由已知x=3时,f(x)min=4,∴=3,即a=36,f(x)min=24.]
三、解答题
9.已知a>b>c,求(a-c)的最小值.
[解] (a-c)
=(a-b+b-c)
=1+1++.
∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,
∴2++≥2+2=4,
当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时取等号,
∴(a-c)的最小值为4.
10.已知a,b,c为正数,求证:++≥3.
[证明] 左边=+-1++-1++-1
=++-3.
∵a,b,c为正数,
∴+≥2(当且仅当a=b时取“=”);
+≥2(当且仅当a=c时取“=”);
+≥2(当且仅当b=c时取“=”).
从而++≥6(当且仅当a=b=c时取等号).
∴++-3≥3,
即++≥3.
1.(多选题)下列函数中,最小值是2的有( )
A.y=x+ B.y=+
C.y=x2++4 D.y=ex+2e-x
BD [A.x<0时,y<0,无最小值.
B.y=+≥2,当且仅当x=2时取等号,正确.
C.y=x2++4≥2=2,当且仅当x2+4=时,等号成立,显然不可能取到,故选项C不正确;
D.y=ex+2e-x≥2=2,当且仅当x=ln时取等号,正确.]
2.已知a>b>1且b=,则a+的最小值为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
A [因为a>b>1且b=,所以a+=a+=a-1++1≥2+1=3.当且仅当a-1=即a=2时等号成立.此时最小值为3.]
3.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为________.
2 [因为+=,所以a>0,b>0,
由=+≥2=2,
所以ab≥2(当且仅当b=2a时取等号),
所以ab的最小值为2.]
4.已知a,b是正实数,且a+2b-3ab=0,则ab的最小值是________,a+b的最小值是________.
1+ [①因为a,b是正实数,且a+2b-3ab=0,
所以3ab=a+2b≥2,
所以≥或≤0(舍),
所以ab≥,所以ab的最小值为;
②由a,b是正实数,且a+2b-3ab=0,可得=1,
所以a+b=(a+b)=≥=1+,
当且仅当=,即a=,b=,
所以a+b的最小值为1+.]
若0<x<,求x的最大值.
[解] 由x=
=
=≤·
=,
当且仅当4x2=1-4x2,即x2=,
x=时取“=”,故x的最大值为.
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