高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式当堂检测题

课后素养落实(十)　基本不等式的证明

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列不等式中正确的是(　　)

A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab

C.≥ D．x2＋≥2

D　[a<0，则a＋≥4不成立，故A错；

a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；

a＝4，b＝16，则<，故C错；

由基本不等式可知D项正确．]

2．(多选题)已知a>0，b>0，则下列不等式中正确的是(　　)

A．ab≤2 B．ab≤

C．≥ D．≤2

ABC　[由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得，ab≤2，∴≥2.]

3．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　)

A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2

C.＋> D．＋≥2

D　[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；

对于B，C，当a<0，b<0时，显然错误；

对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2，

当且仅当a＝b＝1时，等号成立．]

4．若0<a<b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　)

A． B．a2＋b2

C．2ab D．a

B　[a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝.

a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.

∵0<a<b且a＋b＝1，∴a<.∴a2＋b2最大．]

5．当x＞0时，f(x)＝的最大值为(　　)

A. B．1

C．2 D．4

B　[∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，

当且仅当x＝，即x＝1时取等号．故选B.]

二、填空题

6．已知a>b>c，则与的大小关系是________．

≤　[∵a>b>c，

∴a－b>0，b－c>0，

∴≤＝.]

7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．

x≤　[用两种方法求出第三年的产量分别为

A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．

∴1＋x＝≤＝1＋，

∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]

8．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________，最小值为________．

36　24　[f(x)＝4x＋≥2(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)取得最小值4，由已知x＝3时，f(x)min＝4，∴＝3，即a＝36，f(x)min＝24.]

三、解答题

9．已知a>b>c，求(a－c)的最小值．

[解]　(a－c)

＝(a－b＋b－c)

＝1＋1＋＋.

∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，

∴2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号，

∴(a－c)的最小值为4.

10．已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3.

[证明]　左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1

＝＋＋－3.

∵a，b，c为正数，

∴＋≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；

＋≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；

＋≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．

从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．

∴＋＋－3≥3，

即＋＋≥3.

1．(多选题)下列函数中，最小值是2的有(　　)

A．y＝x＋ B．y＝＋

C．y＝x2＋＋4 D．y＝ex＋2e－x

BD　[A.x<0时，y<0，无最小值．

B．y＝＋≥2，当且仅当x＝2时取等号，正确．

C．y＝x2＋＋4≥2＝2，当且仅当x2＋4＝时，等号成立，显然不可能取到，故选项C不正确；

D．y＝ex＋2e－x≥2＝2，当且仅当x＝ln时取等号，正确．]

2．已知a>b>1且b＝，则a＋的最小值为(　　)

A．3 B．4 

C．5 D．6

A　[因为a>b>1且b＝，所以a＋＝a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.当且仅当a－1＝即a＝2时等号成立．此时最小值为3.]

3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．

2　[因为＋＝，所以a>0，b>0，

由＝＋≥2＝2，

所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，

所以ab的最小值为2.]

4．已知a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0，则ab的最小值是________，a＋b的最小值是________．

　1＋　[①因为a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0，

所以3ab＝a＋2b≥2，

所以≥或≤0(舍)，

所以ab≥，所以ab的最小值为；

②由a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0，可得＝1，

所以a＋b＝(a＋b)＝≥＝1＋，

当且仅当＝，即a＝，b＝，

所以a＋b的最小值为1＋.]

若0<x<，求x的最大值．

[解]　由x＝

＝

＝≤·

＝，

当且仅当4x2＝1－4x2，即x2＝，

x＝时取“＝”，故x的最大值为.