高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念第3课时复习练习题

课后素养落实(三十八)　正切函数的图象与性质

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(多选题)下列命题正确的是(　　)

A．y＝tan x为增函数

B．y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为

C．在x∈[－π，π]上y＝tan x是奇函数

D．在上y＝tan x的最大值是1，最小值为－1

BD　[函数y＝tan x在定义域内不具有单调性，故A错误；函数y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，故B正确；当x＝－，时，y＝tan x无意义，故C错误；由正切函数的图象可知D正确．]

2．函数y＝3tan的最小正周期是，则ω＝(　　)

A．4   B．2 

C．－2   D．2或－2

D　[由＝，可知ω＝±2.]

3．函数f(x)＝的定义域为(　　)

A.　　　　 B.

C.   D.

C　[要使函数有意义，则

∴x≠且x≠＋，∴x≠，k∈Z.]

4．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是(　　)

A．x＝   B．x＝－

C．x＝   D．x＝

D　[当x＝时，y＝tan＝tan ＝1；当x＝－时，y＝tan＝1；当x＝时，y＝tan ＝－1，当x＝时，y＝tan 不存在．]

5．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则ω的取值范围是(　　)

A．(－1,0)   B．[－1,0)

C．(0,1)   D．(0,1]

B　[∵y＝tan ωx在内是减函数，

∴T＝≥π，

∴0＜|ω|≤1.

∵y＝tan x在内为增函数，

∴ω<0，∴－1≤ω<0.]

二、填空题

6．比较大小：tan ________tan .(填“>”或“<”)

＜　[tan ＝tan＝tan .

∵y＝tan x在上是增函数且0＜＜＜，

∴tan ＜tan ，即tan ＜tan .]

7．函数y＝|tan x|，y＝tan x，y＝tan(－x)，y＝tan|x|在上的大致图象依次是________．(填序号)

　               ①　　  　②　　 　③　　　 ④

①②④③　[∵|tan x|≥0，∴图象在x轴上方，∴y＝|tan x|对应①；∵tan|x|是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴y＝tan|x|对应③；而y＝tan(－x)与y＝tan x关于y轴对称，∴y＝tan(－x)对应④，y＝tan x对应②，故四个图象依次是①②④③.]

8．函数y＝6 tan的定义域为________，对称中心为________．

　(k∈Z)

[y＝tan＝－tan，

由6x－≠kπ＋(k∈Z)得x≠＋π(k∈Z)，

由6x－＝，(k∈Z)得x＝＋，k∈Z.

故定义域为(k∈Z)，对称中心为(k∈Z)．]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝3tan.

(1)求它的最小正周期和单调递减区间；

(2)试比较f(π)与f 的大小．

[解]　(1)因为f(x)＝3tan

＝－3tan，

所以T＝＝＝4π.

由kπ－<－<kπ＋(k∈Z)，

得4kπ－<x<4kπ＋(k∈Z)．

因为y＝3tan在(k∈Z)上单调递增，所以f(x)＝3tan在(k∈Z)上单调递减．

故函数的最小正周期为4π，单调递减区间为(k∈Z)．

(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan，

f ＝3tan＝3tan＝－3tan，

因为<，且y＝tan x在上单调递增，

所以tan <tan ，所以f(π)>f .

10．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．

[解]　(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，即＝.

因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ)．

因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，

所以2×＋φ＝，k∈Z，

即φ＝＋，k∈Z.

因为0<φ<，所以φ＝，

故f(x)＝tan.

(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，

得－＋kπ<2x<kπ＋，k∈Z，

即－＋<x<＋，k∈Z.

所以函数的单调增区间为，k∈Z，无单调减区间．

(3)由(1)知，f(x)＝tan.

由－1≤tan≤，

得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，

即－＋≤x≤＋，k∈Z.

所以不等式－1≤f(x)≤的解集为.

1．(多选题)关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)，说法正确的是(　　)

A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数

B．f(x)的图象关于对称

C．f(x)的图象关于(π－φ，0)对称

D．f(x)是以π为最小正周期的周期函数

BCD　[A项，若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tan x，此时，f(x)为奇函数，所以A错；观察正切函数y＝tan x的图象，可知y＝tan x关于(k∈Z)对称，令x＋φ＝得x＝－φ，分别令k＝1,2知B、C正确，D显然正确．]

2．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)

D　[当＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；

当x＝π时，y＝0；

当π＜x＜π时，tan x＞sin x，

y＝2sin x＜0.故选D.]

3．若f(n)＝tan ，(n∈N*)则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＝________.

0　[因为f(n)＝tan n的周期T＝＝3，

且f(1)＝tan ＝，f(2)＝tan ＝－，f(3)＝tan π＝0，

所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＝×0＝0.]

4．已知x∈，则函数y＝＋2tan x＋1的最小值为________，取最小值时相应的x的值为________．

1　－　[y＝＋2tan x＋1＝＋2tan x＋1＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1.

∵x∈，∴tan x∈[－，1]．

当tan x＝－1，即x＝－时，y取得最小值1.]

是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tan在x∈上是单调递增的？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由．

[解]　∵y＝tan θ在区间(k∈Z)上为增函数，∴a＜0.

又x∈，

∴－ax∈，

∴－ax∈，

∴

解得－－≤a≤6－8k(k∈Z)．

令－－＝6－8k，

解得k＝1，此时－2≤a≤－2，

∴a＝－2＜0，

∴存在a＝－2∈Z，满足题意．