高中数学2.1 圆的标准方程练习

课后素养落实(七)　圆的标准方程

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是(　　)

A．x2＋y2＝25　　　　 B．x2＋y2＝5

C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25

C　[r＝＝5，故选C．]

2．圆C：(x＋4)2＋(y－3)2＝9的圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离等于(　　)

A．　　 　B．　　 　C．　　 　D．

B　[由已知得，C(－4，3)，则圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离d＝＝．]

3．点(a，a)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2a2的内部，则a的取值范围为(　　)

A． B．

C．　 D．

A　[由(a－1)2＋(a＋2)2<2a2，得a<－．]

4．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)

A．6　　B．4　　C．3　　D．2

B　[由题意，知 |PQ|的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长，即|PQ|的最小值为6－2＝4，故选B．]

5．方程|y|－1＝表示的曲线是(　　)

A．半圆 B．圆

C．两个圆 D．两个半圆

D　[由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝表示的曲线是两个半圆．故选D．]

二、填空题

6．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为________．

(x－2)2＋y2＝5　[(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，圆心关于原点的对称点为(2，0)，即为对称圆的圆心，

所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5．]

7．设P(x，y)是曲线x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为________．

＋2　[由的几何意义知：本题是求圆上一点到点(1，1)的最大值，其最大值为＋2＝＋2．]

8．已知△ABC的顶点A(－1，0)，B(1，0)，C在圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上移动，则△ABC面积的最小值为________．

1　[∵|AB|＝2．∴当△ABC的高，即C到AB的距离最小时，S△ABC最小，

又圆心为(2，2)，半径为1．

所以此时C的坐标为(2，1)，S△ABC的最小值为1．]

三、解答题

9．求圆心C(8，－3)且过点P(5，1)的圆的标准方程．

[解]　法一：设圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2，

∵点P(5，1)在圆上，

∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2．∴r2＝25．

∴所求圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25．

法二：∵圆的半径为r＝|CP|＝＝5，又圆心为C(8，－3)，

∴所求圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25．

10．已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0，1)．

(1)求圆心所在的直线方程；

(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．

[解]　(1)PQ的方程为x＋y－1＝0，PQ中点M，且kPQ＝－1，

所以圆心所在的直线方程为y－＝1×，即x－y＝0．

(2)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，

则，解得 或，

所以圆C的方程为x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1．

11．点P(8，m)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)

A．在圆外　　　　 B．在圆内

C．在圆上 D．与m取值有关

A　[因为d＝＝>＝r，所以点在圆外．]

12．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1，1) B．(0，1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．a＝±1

A　[因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1．]

13．(多选题)一束光线从点A(－1，1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程时(　　)

A．点A(－1，1)关于x轴的对称点A′的坐标为(－1，－1)

B．反射光线所在的直线方程是4x－3y＋1＝0

C．光线的最短路程为4

D．当光线的路程最短时，反射点的坐标为(－，0)

ABCD　[圆C的圆心C的坐标为(2，3)，半径r＝1．点A(－1，1)关于x轴的对称点A′的坐标为(－1，－1)．

因为当反射光线是A′C时，光线的路程最短，

所以最短距离为|A′C|－r，即－1＝4，

此时，反射光线为直线A′C，其方程是4x－3y＋1＝0，反射点为直线A′C与x轴的交点，其坐标为．]

14．(一题两空)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．则的最大值是________；最小值________．

　－　[原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．

的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx．

当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，

此时＝，解得k＝±．

所以的最大值为，最小值为－．]

15．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)

A．[2，6] B．[4，8]

C．[，3]  D．[2，3]

A　[设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2，0)，r＝，

所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝．

由已知条件可得|AB|＝2，

所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2．

综上，△ABP面积的取值范围是[2，6]．故选A．]