数学3.1 抛物线及其标准方程课后测评

课后素养落实(十五)　抛物线及其标准方程

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设抛物线的顶点在原点，准线方程x＝－2，则抛物线的方程是(　　)

A．y2＝－8x B．y2＝－4x

C．y2＝8x D．y2＝4x

C　[由准线方程x＝－2，顶点在原点，可得两条信息：①该抛物线焦点为F(2，0)；②该抛物线的焦准距p＝4．故所求抛物线方程为y2＝8x．]

2．若动点P到定点F(1，0)和直线l：y＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(　　)

A．线段　　　B．直线　　　C．椭圆　　　D．抛物线

B　[设动点P(x，y)，则＝|y|．化简得x＝1．故动点P的轨迹是直线x＝1．]

3．抛物线y2＝12ax(a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为(　　)

A．y2＝8x B．y2＝12x

C．y2＝16x　 D．y2＝20x

A　[准线方程l：x＝－3a，M到准线的距离等于它到焦点的距离，则3＋3a＝5．∴a＝．

∴抛物线方程为y2＝8x，故选A．]

4．抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离是10，则点P的坐标是(　　)

A．(±6，9)　　B．(9，±6)　　C．(9，6)　　D．(6，9)

B　[设P(x0，y0)，则|PF|＝x0－(－1)＝x0＋1＝10，∴x0＝9，∴y＝36，∴y0＝±6．]

5．已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)是抛物线y2＝2px上的三点，点F是抛物线y2＝2px的焦点，且|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|，则(　　)

A．x1＋x3>2x2

B．x1＋x3＝2x2

C．x1＋x3<2x2

D．x1＋x3与2x2的大小关系不确定

B　[由|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|，得＋＝2．即x1＋x3＝2x2．]

二、填空题

6．抛物线x2＝－12y的准线方程是________．

y＝3　[依题意p＝6，故准线方程为y＝3．]

7．已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________．

6　[利用抛物线的定义可知，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤6，当AB过焦点F时取最大值为6．]

8．过抛物线x2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则＝________．

　[如图，由抛物线定义：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|．

又已知AB的倾斜角为30°，

∴|BB1|－|AA1|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)，

∴|BF|－|AF|＝(|AF|＋|BF|)，

整理得|BF|＝3|AF|，∴＝．]

三、解答题

9．分别求符合下列条件的抛物线方程：

(1)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点A(2，3)；

(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为．

[解]　(1)由题意，方程可设为y2＝mx或x2＝ny．

将点A(2，3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，

∴m＝或n＝．

∴所求的抛物线方程为y2＝x或x2＝y．

(2)由焦点到准线的距离为可知p＝．

∴所求抛物线方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y．

10．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺序时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0)．观测点A(4，0)、B(6，0)同时跟踪航天器．

(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

[解]　(1)设曲线方程为y＝ax2＋，由题意可知，0＝64a＋，∴a＝－．

∴曲线方程为y＝－x2＋．

(2)设变轨点为C(x，y)，

联立得4y2－7y－36＝0．

∴y＝4或y＝－(不合题意，舍去)．

由y＝4得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去)．

∴C点的坐标为(6，4)，此时|AC|＝2，|BC|＝4．

故当观测点A，B测得AC，BC距离分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令．

11．已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)

A．2　　B．3　　C．6　　D．9

C　[法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以y＝18p．又点A到焦点的距离为12，所以＝12，所以＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6．故选C．

法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6．故选C．]

12．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)

A．2　　B．3　　C．4　　D．8

D　[抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，

椭圆＋＝1的焦点坐标为(±，0)．

由题意得＝，∴p＝0(舍去)或p＝8．

故选D．]

13．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心的轨迹为(　　)

A．抛物线　　B．双曲线　　C．椭圆　　D．圆

A　[法一：设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r．由两圆外切，得圆心C到点(0，3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0，3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线．

法二：设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r，点A(0，3)，由题意得|CA|＝r＋1＝y＋1，∴＝y＋1，化简得y＝x2＋1，∴圆心的轨迹是抛物线．]

14．(一题两空)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则△ABC重心的坐标为________；||＋||＋||＝________．

(1，0)　6　[因为＋＋＝0，所以点F(1，0)为△ABC的重心，则xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6．]

15．(多选题)如图所示，抛物线y＝x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则下列结论正确的有(　　)

A．若AB的斜率为1，则|AB|＝8

B．|AB|min＝4

C．xA·xB＝－4

D．若AB的斜率为1，则xM＝2

ABCD　[由题意得，焦点F(0，1)，对于A，lAB的方程为y＝x＋1，与抛物线的方程联立，

得 消去x，得y2－6y＋1＝0，

所以yA＋yB＝6，则|AB|＝yA＋yB＋p＝8，则A正确；

对于B，|AB|min＝2p＝4，则B正确；

设lAB的方程为y＝kx＋1，与抛物线的方程联立，

得 消去y，得x2－4kx－4＝0，

所以xA＋xB＝4k，xA·xB＝－4，则C正确；

对于D，当AB的斜率为1时，

设过点A抛物线的切线方程为y－x＝k′，

代入y＝x2得，x2－4k′x－x＋4k′xA  ＝ 0，

则Δ＝ 16k′2＋4x－16k′xA  ＝ 0，即k′＝，

∴过点A抛物线的切线方程为y ＝ x－x，

同理过点B抛物线的切线方程为y ＝ x－x，

联立解得xM＝＝2，则D正确．]