高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 抛物线的简单几何性质课时训练

课后素养落实(十六)　抛物线的简单几何性质

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知点F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点．若|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．1

B　[设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AF|＋|BF|＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋p＝3，则AB的中点C到y轴的距离d＝＝＝．故选B．]

2．抛物线y＝12x2上的点到焦点F的距离的最小值为(　　)

A．3　　　　B．6　　　　C．　　　　D．

C　[将方程化为标准形式是x2＝y，则p＝．设M是抛物线y＝12x2上的一点，则＝x0＋≥＝，当且仅当x0＝0时，取等号，故抛物线y＝12x2上的点到焦点F的距离最小值为．]

3．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作弦AB，其所在直线的倾斜角为，则|AB|等于(　　)

A．　　B．4p　　C．6p　　D．8p

D　[由抛物线的焦点弦公式得，|AB|＝＝＝8p．]

4．动点到点(3，0)的距离比它到直线 x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是(　　)

A．椭圆 B．双曲线

C．双曲线的一支 D．抛物线

D　[已知条件等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D．]

5．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝(　　)

A．　　B．　　C．－　　D．－

D　[由得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或x＝4．

不妨设A(4，4)，B (1，－2)，则||＝5，＝2，·＝(3，4)·(0，－2)＝－8．

cos∠AFB＝＝＝－．]

二、填空题

6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________．

8　[|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．]

7．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝0的距离为________．

　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，∴x1＋x2＝4－＝，

∴中点C(x0，y0)到直线x＋＝0的距离为x0＋＝＋＝＋＝．]

8．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则kOA·kOB的值是________．

－4　[kOA·kOB＝·＝，

根据焦点弦的性质x1x2＝，y1y2＝－p2，故kOA·kOB＝＝－4．]

三、解答题

9．在抛物线y2＝2x上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．

[解]　法一：设P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，

则点P到直线l的距离d＝＝＝，

当y0＝1时，dmin＝，∴P．

法二：设与抛物线相切且与直线x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，

由得y2－2y＋2m＝0，

∵Δ＝(－2)2－4×2m＝0，∴m＝．

∴平行直线的方程为x－y＋＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则dmin＝＝，此时点P的坐标为．

10．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此抛物线的方程．

[解]　过A、B分别作准线的垂线AA′、BD，垂足分别为A′、D，则|BF|＝|BD|，

又2|BF|＝|BC|，

∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°．

又|AF|＝3，

∴|AA′|＝3，|AC|＝6，|FC|＝3．

∴F到准线距离p＝|FC|＝．

∴y2＝3x．

11．设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为(　　)

A．　　　　B．p　　　　C．2p　　　　D．无法确定

C　[当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB即为抛物线的通径，长度等于2p．]

12．有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图中所示的方法进行折叠，使折叠后的点B落在边AD上，此时将B记为B′(注：图中EF为折痕，点F也可能落在边CD上)．过点B′ 作B′T∥CD交EF于点T，则点T的轨迹是以下哪种曲线的一部分(　　)

A．圆　　B．抛物线　　C．椭圆　　D．双曲线

B　[由于B′T∥CD，故B′T⊥AD，连接TB(图略)，由折叠关系，知|B′T|＝|TB|，即动点T到直线AD 的距离等于到定点B的距离．由抛物线的定义，知动点T的轨迹是以B为焦点，以AD为准线的抛物线在矩形ABCD内的部分．故选B．]

13．(多选题)设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角可能是(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

AC　[如图，作AH⊥l于H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，则|AE|＝3－＝，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝＝，∴∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为．]

14．(一题两空)已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝________，cos∠AFB＝________．

　　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，

由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4， ①

∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2． ②

由①②得x1＝4，x2＝1，

∴A(4，4)，B(1，2)，

将B(1，2)代入y＝k(x＋2)，得k＝．

由两点间的距离公式得|AB|＝，又|FA|＝2|FB|＝6，

由余弦定理得，cos∠AFB＝＝．]

15．已知点O为抛物线y2＝2x的顶点，点A，B都在抛物线上，且∠AOB＝90°，证明：直线AB必过一定点．

[证明]　设OA所在直线的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝－x，

由题意知k≠0．

由解得或

即点A的坐标为，

同样由解得点B的坐标为(2k2，－2k)．

故AB所在直线的方程为y＋2k＝(x－2k2)，

化简并整理，得y＝x－2．

不论实数k取任何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0．

故直线过定点P(2，0)．