数学选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线4 直线与圆锥曲线的位置关系4.1 直线与圆锥曲线的交点综合训练题

课后素养落实(十七)　直线与圆锥曲线的位置关系

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．直线x＝1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　)

A．相离　　　B．相切　　　C．相交　　　D．无法确定

B　[∵椭圆x2＋＝1的短半轴b＝1，∴直线x＝1与椭圆相切．]

2．抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则(　　)

A．x3＝x1＋x2 B．x1x2＝x1x3＋x2x3

C．x1＋x2＋x3＝0 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0

B　[由 消去y得ax2－kx－b＝0，可知x1＋x2＝，x1x2＝－，令kx＋b＝0得x3＝－，所以x1x2＝x1x3＋x2x3．]

3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为(　　)

A．2　　B．　　C．　　　D．

C　[设椭圆与直线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0．

则有x1＋x2＝－t，x1x2＝．

∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝，

当t＝0时，|AB|max＝．]

4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于(　　)

A．　　B．2　　C．　　D．

C　[双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝，代入抛物线方程整理得ax2－bx＋a＝0，

因渐近线与抛物线相切，故b2－4a2＝0，即c2＝5a2⇒e＝．]

5．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝－，则m等于(　　)

A．　　B．2　　C．　　D．3

A　[kAB＝＝－1，且y2－y1＝2(x－x)，

所以x2＋x1＝－，又在直线y＝x＋m上，

∴＝＋m，y2＋y1＝x2＋x1＋2m．

又y1＝2x，y2＝2x，

∴2(x＋x)＝x2＋x1＋2m，2[(x2＋x1)2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m，

∴2m＝3，m＝．]

二、填空题

6．设P是双曲线－＝1右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E、F，则|PE|·|PF|的值为________．

　[渐近线方程为2x±y＝0，设P(x0，y0)，则－＝1，所以4x－y＝16．

由点到直线的距离公式有|PE|＝，|PF|＝，

∴|PE|·|PF|＝＝．]

7．过椭圆3x2＋4y2＝48的左焦点F引斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，则|AB|等于________．

　[由3x2＋4y2＝48，得＋＝1，∴a2＝16，b2＝12，c2＝4，

∴F(－2，0)，直线l的方程为y＝x＋2．

由得7x2＋16x－32＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，

∴|AB|＝·|x1－x2|＝．]

8．曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：

①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．

其中，所有正确结论的序号是________．

②③　[设动点M(x，y)到两定点F1，F2的距离的积等于a2，得曲线C的方程为·＝a2，

∵a＞1，故原点坐标不满足曲线C的方程，故①错误．以－x，－y分别代替曲线C的方程中的x、y，其方程不变，故曲线C关于原点对称，即②正确．因为S＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即面积不大于a2，所以③正确．]

三、解答题

9．当k取何值时，直线y＝kx＋1与双曲线4x2－y2＝1相交？

[解]　由得(4－k2)x2－2kx－2＝0．

当4－k2＝0时，k＝±2，直线y＝±2x＋1与双曲线的渐近线平行，它与双曲线相交于一点；

当4－k2≠0时，Δ＝－4k2＋32．

当Δ＞0，即－2＜k＜2且k≠±2时，直线与双曲线相交于两点．

故当－2＜k＜2时，直线与双曲线相交．

10．已知直线y＝－2上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且⊥，记点P的轨迹为C．

(1)求曲线C的方程．

(2)设直线l与x轴交于点A，且＝(≠0)．试判断直线PB与曲线C的位置关系，并证明你的结论．

[解]　 (1)设P的坐标为(x，y)，则点Q的坐标为(x，－2)．

∵⊥，∴·＝0．∴x2－2y＝0．

∴点P的轨迹方程为x2＝2y．

(2)直线PB与曲线C相切，设点P的坐标为(x0，y0)，点A的坐标为(x0，0)．

∵＝，∴＝．

∴点B的坐标为(0，－y0)．

∵≠0，∴直线PB的斜率为k＝．

∵x＝2y0，∴k＝x0．

∴直线PB的方程为y＝x0x－y0．

代入x2＝2y，得x2－2x0x＋2y0＝0．

∵Δ＝4x－8y0＝0，

∴直线PB与曲线C相切．

11．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为(　　)

A．1 B．－1

C．－ D．以上都不对

C　[的几何意义是椭圆上的点与定点(2，0)连线的斜率．显然直线与椭圆相切时取得最值，

设直线y＝k(x－2)，代入椭圆方程消去y得x2－4k2x＋4k2－4＝0．

 令Δ＝0，k＝±．∴kmin＝－．]

12．已知集合A＝，B＝，则A∩B中元素个数为(　　)

A．0　　B．1　　C．2　　D．不确定

C　[由mx－y－2m＋1＝0，得y－1＝m，

∴直线mx－y－2m＋1＝0恒过定点P．

∵－3<2<3，－2<1<2，∴点P在椭圆＋＝1内，

∴直线mx－y－2m＋1＝0与椭圆＋＝1相交，

∴A∩B中元素个数为2．]

13．(多选题)已知曲线C : mx2＋ny2＝1 (　　)

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在 y轴上

B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 y＝±x

D．若m＝0，n>0，则C 是两条直线

[答案]　ACD

14．(一题两空)已知斜率为2的直线l过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，

若直线l与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是________．

若直线l与双曲线的一支相交，则双曲线的离心率e的取值范围是________．

(3，＋∞) 　[当直线l与双曲线的左、右两支都相交时，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即>2，因此该双曲线的离心率e＝＝＝>3．

当直线l与双曲线的一支相交时，双曲线的一条渐近线的斜率必小于或等于2，即≤2，因此该双曲线的离心率e＝＝＝≤3．又e＞1，∴1＜e≤3．]

15．已知点A在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，O为坐标原点，直线l：－＝1的斜率与直线OA的斜率乘积为－．

(1)求椭圆C的方程；

(2)不经过点A的直线y＝x＋t(t≠0且t∈R)与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R(与点A不重合)，直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：|AM|＝|AN|．

[解]　(1)由题意知，kOA·kl＝－·＝－＝－，即a2＝4b2，①

又＋＝1， ②

所以联立①②，解得，

所以椭圆C的方程为＋y2＝1．

(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则R(－x1，－y1)，

由 得x2＋tx＋t2－1＝0，

所以Δ＝4－t2＞0，即－2＜t＜2，

又t≠0，所以t∈(－2，0)∪(0，2)，

x1＋x2＝－t，x1·x2＝t2－1．

法一：要证明|AM|＝|AN|，可转化为证明直线AQ，AR的斜率互为相反数，即证明kAQ＋kAR＝0．

由题意知，kAQ＋kAR＝＋

＝

＝

＝＝

＝0，所以|AM|＝|AN|．

法二：要证明|AM|＝|AN|，可转化为证明直线AQ，AR与y轴的交点M，N连线的中点S的纵坐标为－，即AS垂直平分MN即可．

直线AQ与AR的方程分别为

lAQ：y＋＝(x－1)，lAR：y＋＝(x－1)，

分别令x＝0，得yM＝－，yN＝－，

所以yM＋yN＝＋－＝

－

＝－

＝－

＝－，

yS＝＝－，即AS垂直平分MN．

所以|AM|＝|AN|．