高中1.1 点在空间直角坐标系中的坐标练习

课后素养落实(十八)　点在空间直角坐标系中的坐标

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．点P(0，2，0)位于(　　)

A．x轴上　 B．y轴上

C．xOy平面内 D．yOz平面内

B　[由于x＝z＝0，y＝2，∴P在y轴上．]

2．点P(a，b，c)到坐标平面xOz的距离是(　　)

A．|a| B．|b|

C．|c| D．以上都不对

B　[设点P在面xOz的射影为P′，则|PP′|＝|b|．]

3．已知点A(2，3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为(　　)

A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5

B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5

C．λ＝2，μ＝10，v＝8

D．λ＝2，μ＝10，v＝7

D　[两个点关于x轴对称，那么这两个点的x坐标不变，y坐标与z坐标均互为相反数，故有λ＝2，7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，

∴λ＝2，μ＝10，v＝7．]

4．点P(1，，)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为(　　)

A．(0，0，)  B．(0，，)

C．(1，0，)  D．(1，，0)

D　[由空间点的坐标的定义，知点Q 的坐标为(1，，0)．]

5．长方体ABCD­A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，且AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则DD1C1C所在平面上点的坐标形式是(　　)

A．(0，－2，－1) B．(x，－2，z)

C．(－3，－2，－1) D．(－3，y，z)

B　[DD1C1C所在的平面平行于xOz面，且与xOz面的距离为2，上面任意一点的y坐标都是－2，而x、z坐标可取任意实数．]

二、填空题

6．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则CC1中点N的坐标为________．

(0，2，1)　[C(0，2，0)，|CN|＝1，∴N(0，2，1)．]

7．写出点P(2，3，4)在三条坐标轴上的射影的坐标________，________，________．

(2，0，0)　(0，3，0)　(0，0，4)　[P(2，3，4)在x轴上的射影为(2，0，0)，在y轴上的射影为(0，3，0)在z轴上的射影为(0，0，4)．]

8．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：

①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．

其中正确命题的序号是________．

[答案]　④

三、解答题

9．如图，棱长为a的正方体OABC­D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标．

[解]　因为OB′与BD′相交于点Q，

所以Q点在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点，

所以Q的坐标为．

同理可知Q点在xOz平面内的投影也应为AD′与OA′的交点，

所以Q点的坐标为．

10．如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1的对称中心为坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其它七个顶点的坐标．

[解]　长方体的对称中心为坐标原点O，

∵顶点A(－2，－3，－1)．

∴A关于原点的对称点C1的坐标为(2，3，1)．又∵C与C1关于坐标平面xOy对称，

∴C(2，3，－1)．而A1与C关于原点对称，

∴A1(－2，－3，1)．又∵C与D关于坐标平面yOz对称，

∴D(－2，3，－1)．

∵B与C关于坐标平面xOz对称，

∴B(2，－3，－1)．又∵B1与B关于坐标平面xOy对称，

∴B1(2，－3，1)．

同理，D1(－2，3，1)．

综上知长方体其他七个顶点的坐标为C1(2，3，1)，C(2，3，－1)，A1(－2，－3，1)，B(2，－3，－1)，B1(2，－3，1)，D(－2，3，－1)，D1(－2，3，1)．

11．在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与Q(3，－4，－5)两点间的位置关系是(　　)

A．关于x轴对称

B．关于xOy平面对称　

C．关于坐标原点对称

D．以上都不对

A　[点P(3，4，5) 与Q(3，－4，－5) 两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称．]

12．设z为任一实数，则点(2，2，z)表示的图形是(　　)

A．z轴

B．与平面xOy平行的一直线

C．平面xOy

D．与平面xOy垂直的一直线

D　[(2，2，z)表示过点(2，2，0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．]

13．(多选题)空间直角坐标系中，若一点到三个坐标平面的距离都是1，则下列说法正确的是(　　)

A．该点到原点的距离是

B．该点到原点的距离是3

C．这样的点有4个

D．这样的点有8个

[答案]　AD

14．(一题两空)在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影的坐标是_______，点M(－2，4，－3)关于原点对称的点的坐标是________．

(－2，0，－3)　(2，－4，3)　[点M在xOz上的射影为(－2，0，－3)，点M(－2，4，－3)关于原点对称的坐标为(2，－4，3)．]

15．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．

[解]　以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．

∵点E在z轴上，且为D1D的中点，

∴点E坐标为．

过F作FM⊥AD，FN⊥DC，则|FM|＝|FN|＝，

故点F坐标为．

∵点G在y轴上，又|GD|＝，

∴点G坐标为．

过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点，

故|HK|＝，|CK|＝．

∴|DK|＝．故点H的坐标为．