北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 空间向量运算的坐标表示及其应用复习练习题

课后素养落实(二十四)　空间向量运算的坐标表示及应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)

A．1　　　　B．　　　　C．　　　　D．

D　[ka＋b＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，2a－b＝2(1，1，0)－(－1，0，2)＝(3，2，－2)．

因为ka＋b与2a－b互相垂直，

所以3(k－1)＋2k－2×2＝0．

所以k＝．]

2．已知A(4，1，3)，B(－2，4，3)，则线段AB中点的坐标是(　　)

A．　 　 B．

C． D．

A　[由中点坐标公式得线段AB中点的坐标为，即．]

3．已知A(4，1，3)、B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且＝3，则C的坐标为(　　)

A．　　　 B．

C．　　 D．

C　[设C(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)．

又＝(－2，－6，－2)，＝3，

∴(－2，－6，－2)＝(3x－12，3y－3，3z－9)．

∴解得]

4．如图，F是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CD的中点．E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有(　　)

A．B1E＝EB

B．B1E＝2EB

C．B1E＝EB

D．E与B重合

A　[分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，则＝(0，1，－2)，＝(2，2，z)，因为·＝0×2＋1×2－2z＝0，所以z＝1，所以B1E＝EB．]

5．在空间直角坐标系O­xyz中，i、j、k分别是x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，设a为非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，则〈a，k〉＝(　　)

A．60°　　　　　　  B．45°

C．60°或120°　　  D．45°或135°

C　[设a＝(x，y，z)，则

由cos〈a，i〉＝，cos〈a，j〉＝，cos〈a，k〉＝得，

＝，＝，＝cos〈a，k〉，

∴＋＋cos2〈a，k〉＝1，

∴cos〈a，k〉＝±，又〈a，k〉∈[0，π]，

∴〈a，k〉＝或π．]

二、填空题

6．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，若a⊥b，则x＝________；若a∥b，则x＝________．

　－6　[由a⊥b，得a·b＝0，∴2×(－4)＋(－1)×2＋3x＝0，解得x＝；由a∥b，得＝，解得x＝－6．]

7．已知向量a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)．若a，b成120°的角，则k＝________．

－　[cos〈a，b〉＝＝＝－，得k＝－．]

8．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．

(－∞，－2)　[a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝＜0，又|a|＞0，|b|＞0，所以a·b＜0，即2x＋4＜0，所以x＜－2．又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．]

三、解答题

9．设向量a＝(3，5，－4)，b＝(2，1，8)，计算2a＋3b，3a－2b，a·b，并确定λ，μ满足什么关系时，λa＋μb与z轴垂直．

[解]　2a＋3b＝2(3，5，－4)＋3(2，1，8)＝(6，10，－8)＋(6，3，24)＝(12，13，16)；

3a－2b＝3(3，5，－4)－2(2，1，8)＝(9，15，－12)－(4，2，16)＝(5，13，－28)；a·b＝3×2＋5×1＋(－4)×8＝－21．

∵(λa＋μb)·(0，0，1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0，0，1)＝－4λ＋8μ，

∴当λ，μ满足－4λ＋8μ＝0即λ＝2μ时，λa＋μb与z轴垂直．

10．如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点．若AB＝a，SD＝b．

(1)求||；

(2)求cos〈，〉．

[解]　如图，建立空间直角坐标系D­xyz，则A(a，0，0)，S(0，0，b)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(a，，0)，F，G，

＝，＝，＝(－a，0，0)．

(1)||＝ ＝ ．

(2)cos〈，〉＝＝＝．

11．已知向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a≠b，＝R，则a－b与x轴正向夹角的余弦值为(　　)

A．　 B．

 C． D．

A　[ a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)，x轴正向的方向向量为n＝(1，0，0)，

∴(a－b)n＝x1－x2，

∴cos〈a－b，n〉＝＝．]

12．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x的值为(　　)

A．2　　　　B．－2　　　　C．0　　　　D．1

A　[因为c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，

所以(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝2－2x＝－2．

所以x＝2．]

13．(多选题)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是(　　)

A．a＋b＝(10，－5，－2)　 B．a－b＝(2，－1，－6)

C．a·b＝22　　　　　  D．|a|＝6

ACD　[a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2，1，－6)，

a·b＝24＋6－8＝22，

|a|＝＝＝6．]

14．(一题两空)已知a＋b＝(－1，－2，3)，a－b＝(1，0，1)，则a＝________，b＝________．

(0，－1，2)　(－1，－1，1)　[a＝＝(0，－1，2)，b＝＝(－1，－1，1)．]

15．如图所示，在棱长为1的正方体OABC­O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤1，以O为原点建立空间直角坐标系O­xyz．

(1)求证：A1F⊥C1E；

(2)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋．

[证明]　(1)由已知条件A1(1，0，1)，F(1－x，1，0)，C1(0，1，1)，E(1，x，0)，

则＝(－x，1，－1)，＝(1，x－1，－1)，

∴·＝－x＋(x－1)＋1＝0，

∴⊥，即A1F⊥C1E．

(2)＝(－x，1，－1)，＝(－1，1，0)，＝(0，x，－1)，

设＝λ＋μ，解得λ＝，μ＝1．

所以＝＋．