北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时课时训练

课后素养落实(二十七)　空间中的角

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知正四棱锥S­ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

C　[建立如图所示空间直角坐标系，令正四棱锥的棱长为2，则A(1，－1，0)，D(－1，－1，0)，S(0，0，)，E，

∴＝，＝(－1，－1，－)，

∴cos〈，〉＝＝－，

∴AE、SD所成的角的余弦值为．]

2．如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面所成角的余弦值为(　　)

A． B．

C． D．

B　[建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，

所以G，＝，

又因为平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，

则cos〈，n〉＝＝－，所以与平面ABCD的法向量所成角的余弦值为－，

所以与平面ABCD所成角的余弦值为＝．]

3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)

A．  B．  C．  D．

D　[以B为原点，直线BC、BA、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(2，2，0)，B1(0，0，1)，C1(2，0，1)．

设平面BB1D1D的一个法向量n＝(x，y，z)，

则，∴，取n＝(1，－1，0)，

直线BC1的方向向量＝(2，0，1)，

∴直线BC1与平面BB1D1D所成的角为θ，满足sin θ＝＝．]

4．正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是DD1的中点，O是底面四边形ABCD的中心，P是棱A1B1上任意一点，则直线OP与AM的夹角是(　　)

A． B．

C． D．与点P的位置有关

C　[建立如右图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则M(0，2，1)，O(1，1，0)，设P(x，0，2)，其中0≤x≤2，

则＝(0，2，1)，＝(x－1，－1，2)．

由·＝0×(x－1)＋2×(－1)＋1×2＝0，得AM⊥OP，

∴直线OP与AM所成的角是．]

5．把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角A­BD­C，若AB＝1，AD＝，AC＝，则平面ABD与平面BCD的夹角为(　　)

A．30°　　　　B．60°　　　　C．120°　　　　D．90°

B　[过A作AE⊥BD，过C作CF⊥BD，则AE＝，BE＝，所以EF＝1，

因为＝＋＋，

所以||2＝||2＋||2＋||2＋2||||·cos〈，〉，

∴cos〈，〉＝－，

∴平面ABD与平面BCD的夹角是60°，故选B．]

二、填空题

6．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为________．

45°或135°　[因为cos〈m，n〉＝＝＝，所以两平面所成的二面角的大小为45°或135．]

7．正四棱锥S­ABCD中，O为顶点在底面上的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是________．

30°　[如图，以O为原点建立空间直角坐标系，

设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P，

则＝(2a，0，0)，＝，＝(a，a，0)．

设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0，1，1)，

设BC与平面PAC的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝，∴θ＝30°．]

8．正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是________．

　[建立如图所示坐标系，设AB＝1，则D，A(0，0，0)，F(1，0，0)，B(0，1，0)，

所以＝，＝(1，－1，0)．

所以异面直线AD与BF所成角的余弦值是＝＝．]

三、解答题

9．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D­AF­E与二面角C­BE­F都是60°．

(1)证明：平面ABEF⊥EFDC；

(2)求二面角E­BC­A的余弦值．

[解]　(1)证明：由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，所以AF⊥平面EFDC，又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC．

(2)过D作DG⊥EF，垂足为G，

由(1)知DG⊥平面ABEF．以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G­xyz．

由(1)知∠DFE为二面角D­AF­E的平面角，故∠DFE＝60°，

则|DF|＝2，|DG|＝，可得A(1，4，0)，B(－3，4，0)，E(－3，0，0)，D(0，0，)．

由已知，AB∥EF，

所以AB∥平面EFDC，又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，

故AB∥CD，CD∥EF，

由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，

所以∠CEF为二面角C­BE­F的平面角，∠CEF＝60°，从而可得C(－2，0，)．

所以＝(1，0，)，＝(0，4，0)，＝(－3，－4，)，＝(－4，0，0)．

设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即取z＝－1，则

n＝(，0，－1)．

设m是平面ABCD的法向量，则取z＝4，则m＝(0，，4)，

所以cos〈n，m〉＝＝－．

故二面角E­BC­A的余弦值为－．

10．如图，四棱锥S­ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1．

(1)证明：SD⊥平面SAB；

(2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值．

[解]　以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz．

设D(1，0，0)，则A(2，2，0)，B(0，2，0)．

又设S(x，y，z)，则x＞0，y＞0，z＞0．

(1)证明：＝(x－2，y－2，z)，＝(x，y－2，z)，＝(x－1，y，z)，

由||＝||得＝，故x＝1．

由||＝1得y2＋z2＝1，

又由||＝2得x2＋(y－2)2＋z2＝4，即y2＋z2－4y＋1＝0，故y＝，z＝．

于是S，＝，＝，＝，·＝0，·＝0，

故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，

所以SD⊥平面SAB．

(2)设平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，则a⊥，a⊥，a·＝0，a·＝0．

又＝，＝(0，2，0)，

故取p＝2得，a＝．

又＝(－2，0，0)，

记θ为AB与平面SBC所成的角，则sin θ＝|cos〈，a〉|＝＝．

故AB与平面SBC所成的角的正弦值为．

11．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为(　　)

A．60°　　　　B．90°　　C．105°　　　　D．75°

B　[建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0，0，1)，B1，C1(0，，0)，B．

∴＝，＝．

∴·＝－－1＝0，

∴⊥．即AB1与C1B所成角的大小为90°．]

12．如图，在正四面体A­BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为(　　)

A． B．

C． D．

B　[作AO⊥平面BCD于O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，设AB＝2，则O(0，0，0)，A，C，E

∴＝，＝，

∴cos〈，〉＝＝＝．

∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为．]

13．(多选题)如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，正确的是(　　)

A．O­ABC是正三棱锥

B．直线OB∥平面ACD

C．直线AD与OB所成的角是45°

D．二面角D­OB­A为45°

ACD　[将原图补为正方体不难得出只有B错误，故选ACD．]

14．(一题两空)四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且PB＝2MA＝2，则平面PMD与平面ABCD的夹角的余弦值为________，直线MA与平面PMD所成的角的正弦值为________．

　　[如图建立空间直角坐标系，则D(0，2，0)，M(0，0，1)，P(2，0，2)，

∴＝(0，2，－1)，＝(2，0，1)，

设n1＝(x，y，z)是平面PMD的一个法向量，

则，∴，令z＝1得n1＝，

易知n2＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量．

∴cos〈n1，n2〉＝＝＝．

又＝(0，0，1)，则直线MA与平面PMD所成的角的正弦值为＝＝．]

15．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1­BC­A的平面角为φ，求证：θ<φ．

[证明]　法一：如图所示，在平面A1ABB1中，作AD⊥A1B于D，连接CD，易证AD⊥平面A1BC，

所以∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1是二面角A1­BC­A的平面角，即∠ACD＝θ，∠ABA1＝φ，

在Rt△ADC中，sin θ＝，在Rt△ADB中，sin φ＝，

由于AB<AC，得sin θ<sin φ，

易知0<θ<，0<φ<，所以θ<φ．

法二：以点B为坐标原点，以BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设AA1＝a，AC＝b，AB＝c，

则B(0，0，0)，A(0，c，0)，C(，0，0)，A1(0，c，a)．

于是＝(，0，0)，＝(0，c，a)，＝(，－c，0)，＝(0，0，a)．

设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，

由得令z＝c，则y＝－a．

则n＝(0，－a，c)为平面A1BC的一个法向量，

因为n·＝ac>0，所以与n的夹角β为锐角，则β与θ互为余角，

所以sin θ＝cos β＝＝，

易知|cos φ|＝＝，

又由图可知，φ为锐角，所以cos φ＝，

所以sin φ＝，易知c<b，

所以<，即sin θ<sin φ，

又0<θ<，0<φ<，所以θ<φ．