高中数学1.6 平面直角坐标系中的距离公式第2课时同步达标检测题

课后素养落实(二十八)　空间中的距离问题

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在直线间的距离是(　　)

A．a　　　B．a　　　C．a　　　D．

A　[如图建立空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)．

∴＝(0，a，－a)，||＝a，

＝(－a，0，a)，||＝a．

∴点A1到BC1的距离d＝＝＝a．]

2．如图，已知ABC­A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，点C1到平面AB1D的距离为(　　)

A．a　　　 B．a

C．a D．a

A　[∵ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，又平面AB1D⊥平面ABB1A1，

∴A1B⊥面AB1D，

∴是平面AB1D的一个法向量，

由于C1D＝CD，所以C1到平面AB1D的距离等于C到平面AB1D的距离，

设点C到平面AB1D的距离为d，则

d＝＝＝

＝＝a．]

3．正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G．则三棱锥B1­EFD1的体积V等于(　　)

A．　　B．　　C．　　D．16

C　[以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，E(2，，0)，F(，2，0)，

∴＝(2，，－4)，＝(，2，－4)，＝(2，2，0)，

∴cos〈，〉＝＝＝，

∴sin〈，〉＝，

所以S＝||·||·sin〈，〉＝ ×××＝5，

又∵平面D1EF的法向量为n＝，

∴点B1到平面D1EF的距离d＝|·|＝，

∴V＝·S·d＝×5×＝．]

4．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于(　　)

A．5　　　　　B．　　　　　C．4　　　　　D．2

A　[设＝λ，D(x，y，z)．则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0，4，－3)．

∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ，

∴＝(－4，4λ＋5，－3λ)．

∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－，

∴＝，

∴||＝＝5．]

5．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　)

A．a　　　B．a　　C．a　　　D．a

D　[以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，

由A(a，0，0)，B(a，a，0)，得＝(0，－a，0)，

则两平面间的距离d＝|·|＝＝a．]

二、填空题

6．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为________．

　[建立空间直角坐标系，如图，

则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，

E，所以＝，

＝(0，0，1)，所以在上的投影长度为＝＝－，所以点C1到直线EC的距离d＝＝＝．]

7．设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________．

　[设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，∵n·＝0，n·＝0，

∴即

，取z＝－2，则n＝(3，2，－2)．

又＝(－7，－7，7)，

∴点D到平面ABC的距离为d＝|·|＝＝＝．]

8．设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．

　[如图建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，

∴＝(2，0，0)，＝(2，0，2)，＝(2，2，0)，

设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，

则取x＝1，得n＝(1，－1，－1)，

∴点D1到平面A1BD的距离d＝|·|＝＝．]

三、解答题

9．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点E是AD1的中点，求点E到直线BD的距离．

[解]　建立如图所示的空间直角坐标系．设EF⊥BD，F为垂足，由于F的位置未确定，设＝λ(λ∈R)，则F(λ，λ，0)．

∵＝，∴＝－＝．

∵⊥，＝(1，1，0)，

∴·＝0，即＋λ＝0．

∴λ＝．

∴＝．

∴||＝，故点E到直线BD的距离为．

10．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，试求点F到平面A1D1E的距离．

[解]　取AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．如图，则

A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，F，D1(0，1，1)．

∴＝，A1D1＝(0，1，0)．

设平面A1D1E的一个法向量为n＝(x，y，z)．

则，即取z＝2，得n＝(1，0，2)．

又＝，

∴点F到平面A1D1E的距离d＝|·|＝＝．

11．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是(　　)

A．a B．a

C．a D．a

A　[设M(0，m，m)(0≤m≤a)，＝(－a，0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s0＝，由＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD1的距离d＝＝＝，故当m＝－＝时，d取最小值a．]

12．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

B　[如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(3，0，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，Q(0，0，1)，

＝(3，0，－1)，＝(－3，4，0)，＝(0，0，1)．

设平面BQD的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令x＝4，则y＝3，z＝12，∴n＝(4，3，12)．

∴点P到平面BQD的距离d＝＝．]

13．(多选题)若平面α∥平面β，直线l⊂α，且平面α与β之间的距离为d，下面给出了四个命题，其中正确的命题的为(　　)

A．β内有且仅有一条直线与l的距离等于d

B．β内所有直线与l的距离等于d

C．β内无数条直线与l的距离等于d

D．β内所有的直线与α的距离都等于d

[答案]　CD

14．(一题两空)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则

(1)点B1到平面ABC1的距离为________；

(2)点C到平面ABC1的距离为________．

(1)　(2)　[(1)法一：建立如图所示的空间直角坐标系，

则A，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则＝，＝(0，1，0)，＝(0，1，－1)．

设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)，

则有解得n＝，

则所求距离为＝＝．

法二：连接AB1(图略)，VB1­ABC1＝VA­BB1C1，VA­BB1C1＝S×AB＝．

设点B1到平面ABC1的距离为h，

则VB1­ABC1＝S·h，S＝AB×＝，所以h＝．

(2)设B1C与BC1相交于点D，则D为B1C的中点，

所以点B1到平面ABC1的距离与点C到平面ABC1的距离相等．

所以点C到平面ABC1的距离为．]

15．如图，已知ABCD­A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．

(1)设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A­B1D1­A1的大小为β．求证：tan β＝tan α；

(2)若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的高．

[解]　设正四棱柱的高为h．

(1)证明：连AO1，

∵AA1⊥底面A1B1C1D1，

∴∠AB1A1是AB1与底面A1B1C1D1所成角，

∴∠AB1A1＝α．

∵在等腰△AB1D1中，AO1⊥B1D1．又A1C1⊥B1D1，

∴∠AO1A1是二面角A­B1D1­A1的一个平面角，

∴∠AO1A1＝β．

在Rt△AB1A1中，tan α＝＝h；在Rt△AO1A1中，tan β＝＝h．

∴tan β＝tan α．

(2)如图建立空间直角坐标系，有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1，h)，

则＝(1，0，－h)，＝(0，1，－h)，＝(1，1，0)．

设平面AB1D1的法向量为n＝(u，v，w)．

∵n⊥，n⊥，

∴n·＝0，n·＝0．

由得u＝hw，v＝hw，

∴n＝(hw，hw，w)．取w＝1，得n＝(h，h，1)．

由点C到平面AB1D1的距离为d＝|·|＝＝，解得高h＝2．