北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 分类加法计数原理精练

课后素养落实(二十九)　分类加法计数原理　分步乘法计数原理

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位担任学习委员，不同的选法有(　　)

A．50种 B．26种

C．24种 D．616种

A　[选一位学习委员分两类办法：

第一类：选男生，有26种不同的选法；第二类：选女生，有24种不同的选法．

根据分类加法计数原理，共有N＝26＋24＝50种不同的选法．]

2．已知集合A⊆{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有(　　)

A．2个　　　B．3个　　C．4个　　　D．5个

D　[当集合A中含一个元素时，A＝{1}或{3}；

当集合A中含两个元素时，A＝{1，2}或{1，3}或{2，3}，

∴共有5个集合．]

3．火车上有10名乘客，要在沿途的5个车站下车，则乘客下车的所有可能情况共有(　　)

A．510种　 B．105种

C．50种　 D．以上都不对

A　[完成这件事可分为10步，即10名乘客全部下车，每名乘客选择下车的不同方法均为5种，由分步乘法计数原理知，所有可能的情况为510种．]

4．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有(　　)

A．4种　　　B．5种　　C．6种　　　D．12种

C　[若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．]

5．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为奇数的不同取法的种数为(　　)

A．25　　B．12　　C．9　　D．6

C　[两个数字的和为奇数，这两个数必须一个是奇数，另一个是偶数，在所给的6个数中，3个奇数与3个偶数．因此，由分步乘法计数原理得，共有3×3＝9种不同的取法．]

二、填空题

6．乘积(a＋b＋c)(m＋n)(x＋y)展开后，共有________项．

12　[∵乘积(a＋b＋c)(m＋n)(x＋y)的展开式中的每一项是由a＋b＋c中的一个字母与m＋n中的一个字母与x＋y中的一个字母的乘积组成．可分步完成此事．所以共有3×2×2＝12项．]

7．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为________．

5　[分两类：一类是女同学主持主题班会有3种方法；一类是男同学主持主题班会有2种方法，由分类加法计数原理知，共有3＋2＝5(种)方法．]

8．设a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有________个．

27　[先考虑等边的情况，a＝b＝c＝1，2，…，6，有六个，

再考虑等腰的情况，若a＝b＝1，c<a＋b＝2，此时c＝1与等边重复，

若a＝b＝2，c<a＋b＝4，则c＝1，3，有两个，

若a＝b＝3，c<a＋b＝6，则c＝1，2，4，5，有四个，

若a＝b＝4，c<a＋b＝8，则c＝1，2，3，5，6，有五个，

若a＝b＝5，c<a＋b＝10，则c＝1，2，3，4，6，有五个，

若a＝b＝6，c<a＋b＝12，则c＝1，2，3，4，5，有五个，

故一共有27个．]

三、解答题

9．若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0，1，2，3，5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？

[解]　分两类完成：

第1类：当A或B中有一个为0时，表示的直线为x＝0或y＝0，共2条；

第2类：当A，B都不为0时，确定直线Ax＋By＝0需分两步完成：

第1步：确定A的值，有4种不同的方法，

第2步：确定B的值，有3种不同的方法，

由分步乘法计数原理，共可确定4×3＝12条直线．

由分类加法计数原理，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14条．

10．已知椭圆＋＝1，其中m，n∈{1，2，3，4，5}．

(1)求满足条件的椭圆的个数；

(2)如果椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的个数．

[解]　(1)由椭圆的标准方程知m≠n，要确定一个椭圆，只要把m，n一一确定下来这个椭圆就确定了．

故要确定一个椭圆共分两步，第一步确定m，有5种方法，第二步确定n，有4种方法，共有5×4＝20个椭圆．

(2)要使焦点在x轴上，必须m>n，故可以分类：m＝2，3，4，5时，n的取值列表为：

故共有1＋2＋3＋4＝10个椭圆．

11．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A．24　　B．18　　C．12　　D．9

B　[分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B．]

12．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(　　)

A．48　　B．18　　C．24　　D．36

D　[在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”．]

13．从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有(　　)

A．32个　　B．34个　　C．36个　　D．38个

A　[将和等于11的放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6．从每一小组中取一个，有2种，共有2×2×2×2×2＝32(个)．]

14．(一题两空)已知a，b∈{0，1，2，3}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝4可表示不同的圆的个数为________，其中与y轴相交的圆的个数为________．

16　12　[得到圆的方程分两步：第一步：确定a有4种选法；第二步：确定b有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有4×4＝16(个)．

由与y轴相交知，a＝0或1或2，b有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12(个)．]

15．我国古代数学名著《续古摘奇算法》(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题：如图所示，将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入3×3的方格中，使得每一行、每一列及对角线上的三个数的和都相等，我们规定：只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是(　　)

A．9　　B．8　　C．6　　D．4

B　[因为所有数的和为＝45，＝15，所以每一行、每一列以及对角线上的三个数的和都是15，采用列举法：492，357，816；276，951，438；294，753，618；438，951，276；816，357，492；618，753，294；672，159，834；834，159，672，共8个幻方，故选B．]