高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第五章 计数原理3 组合问题3.1 组合巩固练习

课后素养落实(三十四)　习题课　组合的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法种数为(　　)

A．85　　B．56　　C．49　　D．28

C　[可分类计算：第一类是甲、乙两人有1人入选，有CC＝42(种)选法；第二类是甲、乙都入选，有CC＝7(种)选法，由分类加法计数原理可知，符合题设的方法共有42＋7＝49种．]

2．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有(　　)

A．30种　　B．90种　　C．180种　　D．270种

B　[设三个班级为甲、乙、丙，则5名实习教师分配到3个班级，一定有一个班级只分配到一名实习教师，其余两个班级每个班级分到了两名实习教师，故分步：第一步，选一名教师安排在一个班级中有CC种方法；第二步，余下的4名教师平均分配给剩下的两个班级，有CC种方法．故共有CC·CC＝90种分配方案．]

3．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为(　　)

A．232　　B．252　　C．472　　D．484

C　[分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法CC＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C－3C＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．]

4．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法有(　　)

A．40种　　B．50种　　C．60种　　D．70种

B　[先分组再排列，一组2人一组4人有C＝15种不同的分法；两组各3人共有＝10种不同的分法，所以共有(15＋10)×2＝50种不同的乘车方法．]

5．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)

A．12种　　B．10种　　C．9种　　　D．8种

A　[分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C＝2(种)选派方法；

第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．]

二、填空题

6．从正方体ABCD­A′B′C′D′的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同的四面体的个数为________．

58　[从8个顶点中任取4个有C种方法，从中去掉6个面和6个对角面，所以有C－12＝58个不同的四面体．]

7．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)．

36　[第一步，选2名同学报名某个社团，有C·C＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C·C＝3(种)报法．由分步乘法计数原理得共有12×3＝36(种)报法．]

8．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有________．

34 650　[先从12名同学选4个上第一个路口，再从剩下的8名同学选4个上第二个路口，那么剩下的4名同学上第三个路口，则不同的分配方案共有CCC＝34 650种．]

三、解答题

9．某县医院联合专家去农村义务会诊，其中有5人只精通中医，4人只精通西医，还有2人既精通中医又精通西医，现从这11位专家中选4名中医4名西医，有多少种不同的选法？

[解]　法一：按选西医的人数分三类：

第一类，只精通西医的4人都入选，则可从其余7人中任选4人作中医，有C种；

第二类，只精通西医的4人选3人，则从均精通的两位专家中选1人作西医，余下6人选4人作中医，有CCC种；

第三类，只精通西医的4人选2人，则均精通的两位专家作西医，余下5人选4人作中医，有CC．故由分类加法计数原理知，共有C＋CCC＋CC＝185种选法．

法二：按均精通的专家分类：

第一类，两人均不参加，有CC种；

第二类，两人有一人参加，有C(CC＋CC)种；

第三类，两人均参加，有(CC)×2＋CC＋CC种．

由分类加法计数原理知，共有CC＋[C(CC＋CC)]＋[(CC)×2＋CC＋CC]＝185种选法．

10．设集合A＝{1，2，3，…，10}．

(1)设A的3个元素的子集的个数为n，求n的值；

(2)设A的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a1，a2，…，an，求a1＋a2＋a3＋…＋an的值．

 [解]　(1)A的3元素子集的个数为n＝C＝120．

(2)在A的3元素子集中，含数k(1≤k≤10)的集合个数有C个，因此a1＋a2＋…＋an＝C ×(1＋2＋3＋…＋10)＝1 980．

11．把甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名同学，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数为(　　)

A．24 　　B．30　　C．36　　D．81

B　[根据题意，总的分法种数为CA＝36．若甲、乙两人分在同一个班，则分法种数为A＝6，所以甲、乙两名学生不能分到同一个班的分法种数为36－6＝30，故选B．]

12．若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数有(　　)

A．CC  B．AA

C．  D．AAA

C　[此题为平均分组问题，有种分法．]

13．(多选题)有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品．现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，则(　　)

A．最后一只次品正好在第四次测试时被发现的不同情形有A种

B．最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有CCA种

C．最后一只次品正好在第九次测试时被发现的不同情形有CCA种

D．4只次品全测出至多需要九次测试

[答案]　ABCD

14．(一题两空)从6双不同的鞋子中任取4只，恰是两双的选法有________种，恰有一双的选法有________种．

15　240　[恰是两双的选法有C＝15种，对于恰有一双的情形，可先选一双完整的，再从剩下的5双中选两双，然后在这两双中各选一只，共有CCCC＝240种选法．]

15．在∠MON的边OM上有5个异于O点的点，边ON上有4个异于O点的点，以这10个点(含O点)为顶点，可以得到多少个三角形？

 [解]　法一：(直接法)分几种情况考虑：O为顶点的三角形中，必须另外两个顶点分别在OM、ON上，所以有C·C个；O不为顶点的三角形中，两个顶点在OM上，一个顶点在ON上，有C·C个；一个顶点在OM上，两个顶点在ON，上有C·C个．因为这是分类问题，所以用分类加法计数原理，共有C·C＋C·C＋C·C＝5×4＋10×4＋5×6＝90个．

法二：(间接法)先不考虑共线点的问题，从10个不同元素中任取三点的组合数是C，但其中OM上的6个点(含O点)中任取三点不能得到三角形，ON上的5个点(含O点)中任取3点也不能得到三角形．所以共可以得到C－C－C，即C－C－C＝－－＝120－20－10＝90个．

法三：把O点看成是OM边上的点，先从OM上的6个点(含O点)中取2点，ON上的4点(不含O点)中取一点，可得C·C个三角形，再从OM上的5点(不含O点)中取一点，从ON上的4点(不含O点)中取两点，可得C·C个三角形．所以共有C·C＋C·C＝15×4＋5×6＝90个．