数学选择性必修 第一册5 正态分布同步训练题

课后素养落实(四十五)　正态分布

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设两个正态分布N(μ，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　　)

A．μ1<μ2，σ1<σ2　　 B．μ1<μ2，σ1>σ2

C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2

A　[曲线y＝f(x)关于直线x＝μ对称，显然μ1<μ2，σ越大曲线越“矮胖”，反之，σ越小，曲线越“高瘦”，故σ1<σ2．]

2．如果随机变量X～N(μ，σ2)，且EX＝3，DX＝1，则P(0<X＜1)等于(　　)

A．0.021 5　　B．0.723　　C．0.215　　D．0.64

A　[由EX＝μ＝3，DX＝σ2＝1，∴X～N(3，1)，

又P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝P(0<X<6)＝0.997，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝P(1<X<5)＝0.954，P(0<X<6)－P(1<X<5)＝2P(0<X<1)＝0.043．

∴P(0<X<1)＝0.021 5．]

3．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)等于(　　)

A．0.025　　B．0.050　　C．0.950　　D．0.975

C　[∵ξ～N(0，1)，∴P(ξ<－1.96)＝P(ξ>1.96)＝0.025．

∴P(|ξ|<1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－0.050＝0.950．]

4．设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)，则c等于(　　)

A．1　　B．2　　C．3　　D．4

B　[∵ξ～N(2，9)，P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)．又∵P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，∴3－c＝c－1，∴c＝2．]

5．某厂生产的零件直径ξ～N(10，0.22)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9 cm和9.3 cm，则可认为(　　)

A．上午生产情况未见异常，下午生产情况出现了异常

B．上午生产情况出现了异常，而下午生产情况正常

C．上、下午生产情况均是正常

D．上、下午生产情况均出现了异常

A　[3σ原则：(10－3×0.2，10＋3×0.2)，即(9.4，10.6)，9.9∈(9.4，10.6)，9.3∉(9.4，10.6)，所以，上午生产情况未见异常，下午生产情况出现了异常．]

二、填空题

6．设X～N(0，1)，且P(X≤1.623)＝p，那么P(x>1.623)的值是________．

1－p　[∵X～N(0，1)，∴μ＝0，∴P(x>1.623)＝1－P(X≤1.623)＝1－p．]

7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3，5)内的概率相等，那么这个正态总体的均值为________．

1　[区间(－3，－1)和区间(3，5)关于直线x＝1对称，所以均值μ为1．]

8．已知正态分布总体落在区间(0.2，＋∞)的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)在x＝________时达到最高点．

0.2　[由已知P(X>0.2)＝P(X≤0.2)＝0.5，

所以，正态曲线关于x＝0.2对称．由正态曲线性质得x＝μ＝0.2时达到最高点．]

三、解答题

9．设X～N(2，4)，试求下列概率：

(1)P(2<X<4)；(2)P(－2<X<0)．

[解]　(1)P(2<X<4)＝P(0<X<4)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＝×0.683＝0.341 5．

(2)P(－2<X<0)＝[P(－2<X<6)－P(0<X<4)]＝[P(μ－2σ<X<μ＋2σ)－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝×(0.954－0.683)＝0.135 5．

10．某地区数学考试的成绩X服从正态分布，其分布密度函数图象如下图所示，成绩X位于区间(52，68)的概率是多少？

[解]　设成绩X～N(μ，σ2)，则正态分布密度函数f(x)＝e．

由题图可知参数μ＝60，＝，即σ＝8，

∴P(52<X<68)＝P(60－8<X<60＋8)＝0.683．

11．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)＝(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

[答案]　D

12．正态分布N1(μ1，σ)，N2(μ2，σ)，N3(μ3，σ)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)

①N1(μ1，σ)　　②N2(μ2，σ)　　③N3(μ3，σ)

A．μ1最大，σ1最大 B．μ3最大，σ3最大

C．μ1最大，σ3最大 D．μ3最大，σ1最大

D　[在正态曲线N(μ，σ2)中，x＝μ为正态曲线的对称轴，结合图象可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形式：σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”．故由图象知σ1最大．故选D．]

13．(多选题)把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法正确的是(　　)

A．曲线C2仍是正态曲线

B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等

C．以曲线C2为正态曲线的总体的方差比以曲线C1为正态曲线的总体的方差大2

D．以曲线C2为正态曲线的总体的期望比以曲线C1为正态曲线的总体的期望大2

ABD　[正态密度函数为f(x)＝e，正态曲线对称轴x＝μ，曲线最高点的纵坐标为f(μ)＝．所以曲线C1向右平移2个单位后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标f(μ)没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位，所以期望值μ增大了2个单位．]

14．(一题两空)若随机变量ξ～N(2，σ2)，且P(ξ>3)＝0.158 7，则P(ξ>2)＝________；P(ξ>1)＝________．

0.5　0.841 3　[∵随机变量ξ～N(2，σ2)，∴正态曲线关于x＝2对称，∴P(ξ>2)＝0.5；∵P(ξ>3)＝0.158 7，∴P(ξ>1)＝P(ξ<3)＝1－0.158 7＝0.841 3．]

15．某投资商制定了两个投资方案，准备选择其中一个．已知这两个投资方案的利润x(万元)分别服从正态分布N(8，32)和N(7，12)．该投资商要求“利润超过5万元”的概率尽量地大，他应该选择哪一个方案？

[解]　①当选择X～N(8，32)的方案时，则有μ＝8，σ＝3．

∴P(8－3<X<8＋3)＝P(5<X<11)＝0.683，

∴P(X>5)＝＋P(5<X<8)＝＋P(5<X<11)＝0.5＋0.341 5＝0.841 5．

即选择X～N(8，32)的方案时，利润超过5万元的概率为0.841 5．

②当选择X～N(7，12)的方案时，则有μ′＝7，σ′＝1．

∴P(7－2×1<X<7＋2×1)＝P(5<X<9)＝0.954，

∴P(X>5)＝＋P(5<X<7)＝＋P(5<X<9)＝0.5＋0.477＝0.977，

即选择X～N(7，12)的方案时，利润超过5万元的概率为0.977．

综上可得，选择X～N(7，12)的方案时，利润超过5万元的概率大，即投资商应选X～N(7，12)方案．