数学必修 第二册第一章 三角函数5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识5.2 余弦函数的图象与性质再认识课时作业

课后素养落实(七)　余弦函数的图象与性质再认识

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若函数f(x)＝cos x，x∈，则函数f(x)的最小值为(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[∵x∈，

∴x∈，

∴cos x≥×，

即f(x)＝cos x≥.]

2．函数f(x)＝x2cos x的部分图象是(　　)

A　[∵f＝(－x)2cos (－x)＝x2cos x＝f(x)，

∴f(x)为偶函数，故排除B、D.

当x＝时，y＝cos ＝＞0，故排除C.]

3．设M和m分别表示函数y＝cos x－1的最大值和最小值，则M＋m等于(　　)

A．    B．－    C．－    D．－2

D　[∵ymax＝－1＝－，ymin＝×(－1)－1＝－，

∴M＋m＝－－＝－2.]

4．已知f(x)＝sin ，g(x)＝cos ，则f(x)的图象(　　)

A．与g(x)的图象关于x轴对称

B．与g(x)的图象关于y轴对称

C．向左平移个单位，得到g(x)的图象

D．向右平移个单位，得到g(x)的图象

D　[因为f(x)＝sin ＝cos x，g(x)＝cos ，

所以把f(x)的图象向右平移个单位，可得到g(x)的图象．]

5．下列对y＝cos x的图象描述错误的是(　　)

A．在和上的图象形状相同，只是位置不同

B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间

C．关于x轴对称

D．关于点中心对称

[答案]　C

二、填空题

6．y＝cos x在区间上为增函数，则a的取值范围是________．

　[结合y＝cos x的图象可知，a≤0.]

7．函数y＝－2cos x＋10取最小值时，自变量x的取值集合是________．

　[当cos x＝1，即x＝2kπ，k∈Z时，y取得最小值8.]

8．已知函数y＝2cos x，x∈的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是________．

2 000π　[如图，y＝2cos x的图象在上与直线y＝2围成封闭图形的面积为S＝4π，所以在上封闭图形的面积为4π×500＝2 000π.]

三、解答题

9．求函数y＝的值域．

[解]　y＝＝－1.

∵－1≤cos x≤1，

∴1≤2＋cos x≤3，

∴≤ ≤1，

∴≤ ≤4，

∴ ≤ －1≤3，即 ≤y≤3.

∴函数y＝的值域为.

10．判断方程＝cos x在R内根的个数．

[解]　在同一直角坐标系中作出函数y＝和y＝cos x的图象，如图．

当x＞时，y＝|x|＞＞1，y＝cos x≤1.

当x＜－时，y＝|x|＞＞1，y＝cos x≤1，所以两函数的图象只在内有两个交点，所以＝cos x在R内有两个根．

11．(多选题)下列函数中，是周期函数的是(　　)

A．y＝|cos x|     B．y＝cos |x|

C．y＝|sin x|     D．y＝sin |x|

ABC　[画出y＝sin |x|的图象(图略)，易知D选项不是周期函数．故选ABC.]

12．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0，2π]的大致图象为(　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　　D

D　[由题意得y＝

显然只有D合适．]

13．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝则f(－)＝________．

　[∵T＝，∴f(－)＝f(－＋×3)

＝f()＝sin ＝.]

14．当x∈时，方程sin x＝cos x的解集是________．

　[在同一坐标系内画出y＝sin x和y＝cos x，x∈的图象，如图，

可得x＝或x＝.]

15．已知函数f(x)＝2a cos2x－2a cosx＋a＋b，x∈，而且函数f(x)的最大值为1，最小值为－5，求a，b.

[解]　f(x)＝2a＋b

由x∈知，cos x∈[0，1].

(1)当a>0时，

当cos x＝0时，f(x)取最大值a＋b；

当cos x＝时，f(x)取最小值b.

∴ ，解得 .

(2)当a<0时，

当cos x＝0时，f(x)取最小值a＋b；

当cos x＝时，f(x)取最大值b.

∴ ，

∴

综上知 或 .