人教B版 (2019)必修 第一册2.2.1 不等式及其性质测试题

十三　不等式及其性质

　基础全面练　(15分钟·35分)

1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是(　　)

A．5x＋4y<200    B．5x＋4y≥200

C．5x＋4y＝200    D．5x＋4y≤200

【解析】选D.由题意可得，总的工资为50x＋40y，

又因为现有工人工资预算2 000元，

故50x＋40y≤2 000，

化简可得5x＋4y≤200.

　　　【补偿训练】

 学生小李家中暂时有困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生(小李除外)决定承担这笔费用．若每人承担12元，则多出84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．该班共有x人，这笔开学费用共有y元，则上述问题中的不等关系可表示为________．

【解析】由题意得

即

答案：

2．下列结论中正确的是(　　)

A．若ac＞bc，则a＞b      B．若a2＞b2，则a＞b

C．若>，则a＞b     D．若<，则a＞b

【解析】选C.对于A，c＞0时，结论成立，故A不正确；对于B，a＝－2，b＝－1，满足a2＞b2，但a＜b，故B不正确；对于C，利用不等式的性质，可得结论成立；对于D，a＝－1，b＝2，满足<，但a＜b，故D不正确．

3．(2021·长沙高一检测)设M＝3x2－x＋1，N＝x2＋x－1，则(　　)

A．M>N　　　B．M<N

C．M＝N    D．M与N的大小关系与x有关

【解析】选A.因为M－N＝3x2－x＋1－(x2＋x－1)＝2x2－2x＋2＝22＋>0，

所以M>N.

4．已知c＞a＞b＞0，则________.(填“>”“<”或“＝”)

【解析】因为c＞a，所以c－a＞0，

又因为a＞b，

所以＞.

答案：>

5．(2021·武汉高一检测)张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元/千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销：一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付x(2x∈Z)元．每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%.

①若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x＝________；

②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．

【解析】①顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付120＋70－x＝180元，则x＝10.

答案：10

②设顾客一次购买干果的总价为M元，当0<M<150时，张军每笔订单得到的金额显然不低于促销前总价的七折．当M≥150时，0.8(M－x)≥0.7M.即M≥8x对M≥150恒成立，则8x≤150，x≤18.75，又2x∈Z，所以xmax＝18.5.

答案：18.5

6．(1)比较x2＋3与2x的大小．

(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．

【解析】(1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3

＝(x－1)2＋2≥2>0，

所以x2＋3>2x.

(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2

＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)

＝(a－b)2(a＋b)，

因为a>0，b>0，且a≠b，

所以(a－b)2>0，a＋b>0.

所以(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，

即a3＋b3>a2b＋ab2.

　综合突破练　(30分钟·60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c≥b>a    B．a>c≥b

C．c>b>a    D．a>c>b

【解析】选A. c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，

所以c≥b，已知两式作差得2b＝2＋2a2，

即b＝1＋a2，

因为1＋a2－a＝＋>0，

所以1＋a2>a，

所以b＝1＋a2>a，

所以c≥b>a.

2．(2021·大连高一检测)下列不等式中，正确的是(　　)

A．若a－c>b－d且c>d，则a>b

B．若a>0，b>0，a3－b3＝1，则a－b>1

C．若a>b>0，c>d，则ac>bd

D．若a>b，则ac2>bc2

【解析】选A.若a－c>b－d且c>d，

则a>b，故A正确；

若a>0，b>0，a3－b3＝1，

则a－b<1，故B错误；

令a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－3，

满足a>b>0，c>d，但推不出ac>bd，故C错误；

令c＝0可知D错误．

3．设a>1>b>－1，则下列不等式中恒成立的是(　　)

A．<    B．>

C．a2>2b    D．a>b2

【解析】选D.A错，例如a＝2，b＝－时，＝，＝－2，此时，>；B错，例如a＝2，b＝时，＝，＝2，此时，<；C错，例如a＝，b＝时，a2＝，2b＝，此时a2<2b；由a>1，b2<1得a>b2.

　　　【补偿训练】

 若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列结论正确的是(　　)

A．ac2＜bc2　　　　B．<

C．>      D．a2＞ab＞b2

【解析】选D.因为c为实数，所以取c＝0，ac2＝0，bc2＝0，此时ac2＝bc2，故选项A不成立；－＝，因为a＜b＜0，所以b－a＞0，ab＞0，所以＞0，即>，故选项B不成立；因为a＜b＜0，所以取a＝－2，b＝－1，则＝＝，＝＝2，所以此时，<，故选项C不成立；因为a＜b＜0，所以a2－ab＝a(a－b)＞0，所以a2＞ab.所以ab－b2＝b(a－b)＞0，所以ab＞b2，故选项D正确．

4．已知α∈，β∈，则2α－的取值范围是(　　)

A．     B．

C．(0，1)     D．

【解析】选D.因为α∈，β∈，

所以2α∈(0，1)，∈，

则－∈，所以2α－∈.

【误区警示】本题错之处在于用2α减去导致范围发生变化而导致错误，再求未知量范围时要牢记“只加不减，只乘不除”这一原则．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列说法正确的是(　　)

A．若ab≠0且a<b，则>

B．若0<a<1，则a3<a

C．若a>b>0，则>

D．若c<b<a且ac<0，则cb2<ab2

【解析】选BC.A，不成立，比如a＝－2，b＝1，

B，成立，0<a<1，a2<1，a(a2－1)<0，即a3<a，

C，成立，－＝＝>0，所以>，

D，不成立，若b＝0，则有0<0，不成立．

6．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)

A．若ab<0，bc－ad>0，则－>0

B．若ab>0，－>0，则bc－ad>0

C．若bc－ad>0，－>0，则ab>0

D．若<<0，则<

【解析】选BCD.对于A，若ab<0，bc－ad>0，

不等式两边同时除以ab得－<0，所以A不正确；

对于B，若ab>0，－>0，

不等式两边同时乘以ab得bc－ad>0，所以B正确；

对于C，若－>0，当两边同时乘以ab时可得bc－ad>0，所以ab>0，所以C正确；

对于D，由<<0，可知b<a<0，所以a＋b<0，ab>0，所以<成立，所以D正确．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．(2021·扬州高一检测)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[1，2 020]时，符合条件的a共有________个．

【解析】由题设a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N*，则3m＝5n＋1，

当m＝5k，n不存在；

当m＝5k＋1，n不存在；

当m＝5k＋2，n＝3k＋1，满足题意：

当m＝5k＋3，n不存在；

当m＝5k＋4，n不存在；

故1≤a＝15k＋8≤2 020，解得－≤k≤，

则k＝0，1，2，…，134，共135个．

答案：135

　　　【补偿训练】

 已知三个不等式：①ab＞0，②＞，

③bc＞ad.则下列结论正确的有________个．

(1)①③⇒②　(2)①②⇒③　(3)②③⇒①

【解析】不等式②作等价变形＞⇔＞0，由ab＞0，bc＞ad，可得②成立，

即①③⇒②；

若ab＞0，＞0，则 bc＞ad，故①②⇒③；

若 bc＞ad，＞0，则 ab＞0，故②③⇒①.

答案：3

8．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如表：

今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为________万元．

【解析】设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件件．

根据题意，得＋≤20，解得x≤20.

由题意，得总产值y＝7.5x＋6×＝300＋1.5x≤330，

当且仅当x＝20时，y取最大值330.

答案：20　330

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．(2021·古田高一检测)(1)设x<y<0，试比较与的大小；

(2)已知－1<a＋b<3，2<a－b<4，求2a＋3b的取值范围．

【解析】(1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)，

因为x<y<0，所以xy>0，x－y<0；

所以－2xy(x－y)>0，

所以(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y).

(2)设2a＋3b＝m(a＋b)＋n(a－b)，

则所以m＝，n＝－.

所以2a＋3b＝(a＋b)－(a－b).

因为－1<a＋b<3，2<a－b<4，

所以－<(a＋b)<，－2<－(a－b)<－1，

所以－<(a＋b)－(a－b)<，

即－<2a＋3b<.

10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．

【解析】由题意可得甲、乙两车队收费与乘车人数的表达式，要比较哪个车队收费更优惠，可依据作差法模型解决．

设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元．

当n取不同的正整数值时，比较y1与y2的大小．

由题意，y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx.

因为y1－y2＝x＋nx－nx＝

x－nx＝x，

当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1<y2；

当n<5时，y1>y2.

答：当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．

　应用创新练

1．(2021·西安高一检测)若1<α<3，－4<β<2，则α－的取值范围是______．

【解析】由－4<β<2得0≤<4，

即－4<－≤0，

又1<α<3，

所以－3<α－<3.

答案：

2．有三个实数m，a，b(a≠b)，如果在a2(m－b)＋m2b中，把a和b互换，所得的代数式的值比原式的值小，那么关系式a＜m＜b是否可能成立？请说明你的理由．

【解析】不妨设P＝a2(m－b)＋m2b，Q＝b2(m－a)＋m2a.由题意知Q＜P，即Q－P＜0.

所以b2(m－a)＋m2a－a2(m－b)－m2b＜0，

(a－b)m2＋(b2－a2)m＋ab(a－b)＜0.

所以(a－b)(m－a)(m－b)＜0.(*)

若a＜m＜b成立，则a＜b，这时不等式(*)的解为m＞b或m＜a，矛盾．故a＜m＜b不可能成立．

　　　【补偿训练】

 1.已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的取值范围．

【解析】设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，则有

解得

所以3a－2b＝(a＋b)＋(a－b).

因为≤(a＋b)≤，－≤(a－b)≤，所以－2≤3a－2b≤10，

即3a－2b的范围是[－2，10].

　2.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是(　　)

A．ax＋by＋cz    B．az＋by＋cx

C．ay＋bz＋cx    D．ay＋bx＋cz

【解析】选B.方法一：因为x<y<z，a<b<c，

所以ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)>0，

故ax＋by＋cz>az＋by＋cx；

同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)＜0，

故ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz；

又az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)<0，

故az＋by＋cx<ay＋bz＋cx.

综上可得，最低的总费用为az＋by＋cx.

方法二(特殊值法)：若x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可知最低的总费用是az＋by＋cx.