人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用第2课时复习练习题

十七　均值不等式的应用

基础全面练 (15分钟·35分)

1.已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为(　　)

A．8    B．4    C．2    D．0

【解析】选A.由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，

且x>0，y>0.所以x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8，当且仅当x＝2y时等号成立．

2．(2021·鞍山高一检测)若实数x，y 满足xy＋6x＝4，则＋的最小值为(　　)

A．4　　　B．8　　　C．16　　　D．32

【解析】选B.因为xy＋6x＝4，故＋＝＋＝y＋6＋，

因为0<x<，故y＝＝－6>0，故y＋6＋≥8，当且仅当y＝1，x＝时等号成立，故＋的最小值为8.

3．对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于(　　)

A．    B．    C．25    D．5

【解析】选A.设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，由题意知c＝5，则a2＋b2＝25，

则三角形的面积S＝ab，

因为25＝a2＋b2≥2ab，所以ab≤，

则三角形的面积S＝ab≤×＝，当且仅当a＝b＝时取等号，即这个直角三角形面积的最大值等于.

4．已知正实数a，b满足a＋＝2，则＋2b的最小值为________.

【解析】由题意，正实数a，b满足a＋＝2，

则＋2b＝×＝×≥×＝4，当且仅当＝2ab，即ab＝1时，取得最小值，其最小值为4.

答案：4

5．某公司购买抗击新冠肺炎疫情物资200 t用于支援抗疫一线，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．

【解析】设每次购买抗疫物资x t，则需要购买次，则一年的总运费为×2＝，一年的总存储费用为x万元，

所以一年的总运费与总存储费用为＋x≥

2＝40，当且仅当＝x，

即x＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20 t.

答案：20

6．(2021·北京高一检测)围建一个面积为40 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙足够长)，利用的旧墙需维修，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为5元/米，新墙的造价为20元/米，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)

(1)将y表示为x的函数；

【解析】设矩形的另一边长为a m，则y＝5x＋20＋20·2a＝25x＋40a－40，

由已知ax＝40，得a＝，所以y＝25x＋－40.

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

【解析】 因为x>2，

所以25x＋≥2＝400，

所以y＝25x＋－40≥360，

当且仅当25x＝，即x＝8时，等号成立．

即当x＝8 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是360元．

【补偿训练】

国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入m万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名(x∈N*且x∈[45，60])，调整后研发人员的年人均投入增加2x%，技术人员的年人均投入调整为m万元．

(1)要使这100－x名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数．

【思路引导】根据题意列式，并求解即可；

【解析】由题，可列方程为(100－x)m(1＋2x%)＝100m，则x＝50，故调整后的技术人员的人数为50.

(2)是否存在这样的实数a，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出a的范围，若不存在，说明理由．

【思路引导】需满足两个不等关系：①技术人员的年人均投入不减少，②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，列出不等式求解即可．

【解析】存在，a的范围为.由题意得(100－x)m(1＋2x%)≥mx，

则a≤＋＋1，在x∈N*且x∈[45，60]上恒成立，因为＋＋1≥1＋2＝1＋4＝5，当且仅当＝即x＝50时取等号，所以a≤5.

又因为m≥m即a≥1＋，设t＝1＋，则t在x∈N*且x∈[45，60]上为增函数，当x＝60时，t取得最大值为，

所以a≥，

综上，a的范围为.

综合突破练　(30分钟·60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．(2021·兰州高一检测)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为(　　)

A．2　　　B．　　　C．4　　　D．

【解析】选B.因为a>0，b>0，所以2a＋b≥2，当且仅当2a＝b时等号成立，又2a＋b＝4，所以2≤4即0<ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时等号成立，所以≥，所以的最小值为.

2．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为(　　)

A．2    B．4    C．6    D．8

【解析】选B.因为a>0，b＞0，a＋b＝ab≤，所以a＋b≥4，当a＝b＝2时取等号，则a＋b的最小值为4.

3．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　)

A．      B．　

C．     D．

【解析】选A.因为对任意x>0，≤a恒成立，所以对x∈(0，＋∞)，a≥，

又因为x∈(0，＋∞)，

所以＝≤＝，当且仅当x＝1时等号成立，所以a≥.

【补偿训练】

已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为________．

【解析】由于x＋4y－xy＝0，即x＋4y＝xy，等式两边同时除以xy得，＋＝1，由均值不等式可得x＋y＝(x＋y)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当＝，即当x＝2y＝6时，等号成立，所以，x＋y的最小值为9.因此，实数m的取值范围为m≤9.

答案：m≤9

4．已知正实数m，n满足m＋n＝1，且使＋取得最小值．若y＝，x＝是方程y＝xα的解，则α ＝(　　)

A．－1    B．    C．2    D．3

【解析】选C.＋＝(m＋n)

＝1＋＋＋16

＝17＋＋≥17＋2＝25.

当且仅当＝又m＋n＝1，

即m＝，n＝时，上式取等号，

即＋取得最小值时， m＝，n＝，

所以y＝25，x＝5, 25＝5α.

得α＝2.

【误区警示】本题易错之处在于不能灵活的利用均值不等式得到m与n的解，从而无法代入方程的所求结果．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．下列不等式一定成立的是(　　)

A．x2＋>x　　 B．x＋≥2

C．x2＋1≥2|x|     D．>1

【解析】选BC.对于选项A，当x＝时，x2＋＝x，所以A不一定成立；

对于选项B，当x>0时，不等式x＋≥2成立，所以B一定成立；

对于选项C，不等式x2＋1－2|x|＝(|x|－1)2≥0，即x2＋1≥2|x|恒成立，所以C一定成立；

对于选项D，因为 x2＋1≥1，所以 0<≤1，所以D不成立．

6．设a＋b＝2(a>0，b>0)，则＋取最小值时下列结论正确的是(　　)

A．a＝       B．ab＝1

C．＋＝     D．＋＝

【解析】选AC.因为a＋b＝2，

所以＋＝＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1＝.

当且仅当＝，即b2＝4a2时等号成立．

又因为a>0，b>0，a＋b＝2，所以解得a＝，b＝，所以＋的最小值为.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．已知一次函数y＝－x＋1的图像分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值是________，取得最值时a的值为________．

【解析】因为A(2，0)，B(0，1)，所以0≤b≤1，由题意得a＝2－2b，

ab＝(2－2b)b＝2(1－b)·b≤2·＝.当且仅当1－b＝b，即b＝时等号成立，此时a＝1，因此当b＝，a＝1时，ab的最大值为.

答案：　1

8．如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.

【解析】设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.

由题意，得y＝(x＋4)－72＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2).

当且仅当x＝，即x＝12 dm时等号成立．

答案：56

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：

(1)＋＋≥8.

【证明】因为a＋b＝1，a>0，b>0，

所以＋＋＝2.

所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，

所以＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立).

(2)≥9.

【证明】方法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，

所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，

所以＝

＝5＋2≥5＋4＝9.

所以≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立).

方法二：＝1＋＋＋，

由(1)知，＋＋≥8，

故＝1＋＋＋≥9.

当且仅当a＝b＝时取等号．

10．经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0).

(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？

【解析】y＝＝，

因为v＋≥2＝20，

所以y＝≤＝.

当且仅当v＝，即v＝10时等号成立．

所以当汽车的平均速度v＝10千米/小时时车流量y最大．

(2)为保证在该时段内车流量至少为12千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

【解析】令≥12，则可化为v2－70v＋1 000≤0，

即(v－20)(v－50)≤0，解得20≤v≤50.所以汽车的平均速度应控制在20千米/小时到50千米/小时范围内．

应用创新练

1．某种商品原来每件售价为25元，年销售量为8万件．

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

【解析】设每件定价为x元，依题意得

x≥25×8，整理得x2－65x＋1 000≤0，解得25≤x≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．

(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

【解析】依题意不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等价于x＞25时a≥＋x＋有解，因为＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，所以a≥10.2.

所以当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．

2．我们学习了二元均值不等式：设a>0，b>0，≥，当且仅当a＝b时，等号成立．

利用均值不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值．

(1)对于三元均值不等式请猜想：设a>0，b>0，c>0，≥________，当且仅当a＝b＝c时，等号成立(把横线补全).

【解析】设a>0，b>0，c>0，≥， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

答案：

(2)利用(1)猜想的三元均值不等式证明：

设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求证：(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc.

【解析】设a>0，b>0，c>0，因为a＋b＋c≥3>0，a2＋b2＋c2≥3>0，

所以(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9＝9abc，

即(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc.

(3)利用(1)猜想的三元均值不等式求最值：

设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)(1－c)的最大值．

【解析】设a>0，b>0，c>0，≥，

所以abc≤，又因为a＋b＋c＝1，

0<1－a<1，0<1－b<1，0<1－c<1，所以(1－a)(1－b)(1－c)≤＝，

当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

所以(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为.