人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性第2课时课堂检测

二十三　函数的最大值、最小值

【基础全面练】　(15分钟·35分)

1.(2021·南昌高一检测)已知函数f(x)＝在上的最大值为A，最小值为B，则A－B等于(　　)

A．　　　B．－　　　C．1　　　D．－1

【解析】选A.函数f(x)＝在上是减函数，所以x＝1时，f(x)的最大值为1，即A＝1，x＝2时，f(x)的最小值为，即B＝，则A－B＝1－＝.

2．已知：f(x)＝－，则(　　)

A．f(x)max＝，f(x)无最小值

B．f(x)min＝1，f(x)无最大值

C．f(x)max＝1，f(x)min＝－1

D．f(x)max＝1，f(x)min＝0

【解析】选C.f(x)＝－的定义域为[0，1]，因为f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)max＝1，f(x)min＝－1.

3．(2021·昆明高一检测)已知f(x)＝x2－ax＋在[0，1]上的最大值为g(a)，则g(a)的最小值为(　　)

A．0    B．    C．1    D．2

【解析】选B.因为f(x)＝x2－ax＋图像的开口向上，对称轴为x＝，

①≤即a≤1时，此时函数取得最大值g＝f(1)＝1－，

②当>即a>1时，此时函数取得最大值g＝f＝，故g＝，故当a＝1时，g取得最小值.

4．函数y＝f(x)的定义域为[－4，6]，且在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2，6]上递增，且f(－4)＜f(6)，则函数f(x)的最小值是________，最大值是________．

【解析】因为函数y＝f(x)在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2，6]上递增，所以f(x)的最小值是f(－2)，又因为f(－4)＜f(6)，所以f(x)的最大值是f(6).

答案：f(－2)　f(6)

5．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________.

【解析】a＜－x2＋2x恒成立，即a小于函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[0，2]的最小值，而f(x)＝－x2＋2x，x∈[0，2]的最小值为0，所以a＜0.

答案：(－∞，0)

【补偿训练】

 (2020·重庆高一检测)已知函数f(x)＝－2x2＋mx＋3(0≤m≤4，0≤x≤1)的最大值为4，则m的值为________．

【解析】f(x)＝－2x2＋mx＋3＝－2＋＋3，0≤m≤4，

所以0≤≤1，所以当x＝时，f(x)取得最大值，

所以＋3＝4，解得m＝2.

答案：2

6．利用函数的平均变化率证明函数y＝在区间[0，5]上是减函数．

【证明】设0≤x1，x2≤5，且x1≠x2，

则f(x2)－f(x1)＝－

＝，

所以＝，

又由0≤x1，x2≤5，且x1≠x2，

则x1＋2＞0，x2＋2＞0，所以<0，

则函数y＝在[0，5]上是减函数，

则函数f(x)在区间[0，5]上的最小值为f(5)＝，最大值为f(0)＝.

【综合突破练】　(30分钟·60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．(2021·成都高一检测)已知函数f(x)＝kx2－4x＋8在[5，10]上单调递减，且f(x)在[5，10]上的最小值为－32，则实数k的值为(　　)

A．－　　B．0　　C．0或－　　D．0或

【解析】选B.由函数f(x)＝kx2－4x＋8在[5，10]上单调递减可知，当x＝10时，函数有最小值，

即100k－40＋8＝－32，解得k＝0，当k＝0时，f(x)＝－4x＋8，函数单调递减，满足题意．

2．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m的值(　　)

A．与a有关，且与b有关

B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关

D．与a无关，但与b有关

【解析】选B.因为最值在f(0)＝b，f(1)＝1＋a＋b，f＝b－中取，所以最值之差一定与b无关，与a有关．

3．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)

A．90万元    B．60万元   

C．120万元   D．120.25万元

【解析】选C.设公司在甲地销售m辆，

则在乙地销售(15－m)辆，

设两地销售的利润之和为y万元，则y＝－m2＋21m＋2(15－m)＝－m2＋19m＋30.

由题意知，

所以0≤m≤15，且m∈Z.

当m＝＝9.5时，y值最大，

因为m∈Z，所以取m＝9或10.

当m＝9时，y＝120，当m＝10时，y＝120.

综上可知，公司获得的最大利润为120万元．

4．(2021·长春高一检测)对任意a∈，函数f＝x2＋x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)

A．1<x<3    B．x<1或x>3

C．1<x<2    D．x<1或x>2

【解析】选B.对任意a∈，函数f＝x2＋x＋4－2a的值恒大于零，

设g＝a＋x2－4x＋4，即g>0在a∈上恒成立．

g在a∈上是关于a的一次函数或常数函数，其图像为一条线段．

则只需线段的两个端点在x轴上方，

即，解得x>3或x<1.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．下列函数中，值域是[0，＋∞)的是(　　)

A．y＝|x|    B．y＝3－x

C．y＝x2    D．y＝－x2＋4

【解析】选AC.y＝|x|的值域是[0，＋∞)；

y＝3－x的值域是R；y＝x2的值域是[0，＋∞)；y＝－x2＋4的值域是(－∞，4]，故选AC.

6．设c＜0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列结论中正确的是(　　)

A．f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a)

B．在[a，b]上有最小值f(a)

C．f(x)－c在[a，b]上有最小值f(b)－c

D．cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)

【解析】选CD.A中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，在区间[a，b]上有最小值f(b)，A错误；

B中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，而函数在[a，b]上单调性无法确定，其最小值无法确定，B错误；

C中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，f(x)－c在区间[a，b]上也是减函数，其最小值为f(b)－c，C正确；

D中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，且c＜0，

则cf(x)在区间[a，b]上是增函数，则在[a，b]上有最小值cf(a)，D正确．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．(2021·宁波高一检测)函数y＝2＋的最大值是________，单调递增区间是________．

【解析】函数y＝2＋＝2＋，可得x＝2时，函数y取得最大值2＋2＝4；

由4x－x2≥0，可得0≤x≤4，由t＝－x2＋4x在[0，2]上为增函数，y＝2＋在[0，＋∞)上为增函数，

可得函数y＝2＋的单调递增区间为[0，2].

答案：4　[0，2]

8．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________．　

【解析】当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4＜0可化为m＜－，

又函数f(x)＝－在(1，2)上递增，

则f(x)＞－5，则m≤－5.

答案：(－∞，－5]

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．(2021·芜湖高一检测)已知函数f(x)＝x＋.

(1)试证明函数f(x)在(0，2)上单调递减；

(2)求函数f(x)在上的值域．

【解析】(1)任取x1，x2∈(0，2)且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－

＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)，又0<x1<x2<2，

所以x1－x2<0，0<x1x2<4，1－<0，

所以(x1－x2)>0，

则f(x1)－f(x2)>0，

即f(x1)>f(x2)，故函数f(x)＝x＋在x∈(0，2)上单调递减．

(2)任取x1，x2∈[2，＋∞)且x1<x2，由(1)可知，f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)<0，

即f(x)在[2，＋∞)上单调递增，又f(x)在(0，2)上单调递减，

其中f＝，f(2)＝4，f(4)＝5，所以f(x)在区间上的值域为.

10．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.

(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域．

(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．

【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3＝－，对称轴为x＝－，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以f≤f(x)≤f(3)，

f(3)＝15，f＝－，所以该函数的值域为.

(2)函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3的对称轴是x＝－a.

当－a＞1时，函数f(x)在[－1，3]上的最大值为f(－1)＝－2a－1＝1，

所以a＝－1；

当－a≤1时，函数f(x)在[－1，3]上的最大值为f(3)＝6a＋3＝1，所以a＝－，

综上所述a＝－或a＝－1.

【补偿训练】

 设函数f(x)＝其中a为常数．

(1)对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，>0，求实数a的取值范围．

(2)在(1)的条件下，求g(x)＝x2－4ax＋3在区间[1，3]上的最小值h(a).

【解析】(1)由题意函数在定义域上为增函数，则实数a应满足

解得1≤a≤4.

(2)g(x)＝x2－4ax＋3＝(x－2a)2＋3－4a2，其图像的对称轴x＝2a，由(1)得2≤2a≤8.

①当2≤2a≤3，即1≤a≤时，h(a)＝g(2a)＝3－4a2；

②当3<2a≤8，即<a≤4时，h(a)＝g(3)＝12－12a.

综上h(a)＝

【应用创新练】

1．已知x＞1，则函数f(x)＝2x＋的最小值为________．

【解析】根据题意f(x)＝2x＋＝2(x－1)＋＋2，

又由x＞1，即x－1＞0，

则f(x)≥2＝2＋2，

即函数f(x)的最小值为2＋2.

答案：2＋2

2．已知函数f(x)＝x2＋ax＋a2＋1(a∈R)，设f(x)在[－1，1]上的最大值为g(a)，

(1)求g(a)的表达式．

(2)是否存在实数m，n，使得g(a)的定义域为[m，n]，值域为[5m，5n]？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，请说明理由．

【解析】(1)因为函数f(x)图像的对称轴为x＝－，

所以当－≤0，即a≥0时，

g(a)＝f(x)max＝f(1)＝a2＋a＋2；

当－>0，即a＜0时，

g(a)＝f(x)max＝f(－1)＝a2－a＋2.

所以g(a)＝

(2)假设存在符合题意的实数m，n，则由(1)可知，函数g(a)的图像如图所示，

故g(a)≥2，又g(a)∈[5m，5n]，

所以0<m<n.

又g(a)在(0，＋∞)上是增函数，

所以

所以m，n是方程x2＋x＋2＝5x，

即x2－4x＋2＝0的两根，

解得m＝2－，n＝2＋.