数学必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性第1课时复习练习题

二十四　函数的奇偶性

【基础全面练】　(15分钟·35分)

1.(2021·哈尔滨高一检测)下列函数中是奇函数的为(　　)

A．y＝x－1   B．y＝x2

C．y＝|x|     D．y＝x

【解析】选D.对于A选项，函数y＝x－1为非奇非偶函数；对于B选项，函数y＝x2为偶函数；

对于C选项，函数y＝|x|的定义域为R，且＝|x|，函数y＝|x|为偶函数；对于D选项，函数y＝x为奇函数．

2．(2021·南京高一检测)若函数f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x2－4x，则f(－1)的值为(　　)

A．6    B．－6    C．－2    D．2

【解析】选D.因为f(x)为R上的奇函数，

所以f(－1)＝－f(1)＝－(2－4)＝2.

3．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)

A．    B．    C．    D．1

【解题指南】利用奇函数的定义得到f(－1)＝－f(1)，列出方程求出a.

【解析】选A.因为f(x)为奇函数，

所以f(－1)＝－f(1)，所以＝－，

所以1＋a＝3(1－a)，解得a＝.

4．设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的单调减区间为________．

【解析】作出函数f(x)的图像如图：

故单调减区间为[－5，－4]，[－1，0]，[1，4].

答案：[－5，－4]，[－1，0]，[1，4]

5．若f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________．

【解析】因为f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1，2a]，所以a－1＋2a＝0，解得a＝，且f(－x)＝ax2－bx＋3a＋b＝f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b，所以b＝0.

答案：　0

6．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝.

(2)f(x)＝－3x2＋1.

(3)f(x)＝.

(4)f(x)＝

【解析】(1)f(x)＝的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数．

(2)f(x)＝－3x2＋1的定义域是R，f(－x)＝f(x)，

所以f(x)为偶函数．

(3)f(x)＝的定义域是[－1，0)∪(0，1]，

所以解析式可化简为f(x)＝，满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

(4)函数的定义域为R.

当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)；

当x＝0时，f(－x)＝f(x)＝1；

当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x＋1＝f(x).

综上，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，

所以f(x)为偶函数．

【综合突破练】　(30分钟·60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．已知函数f(x)＝g(x)＋|x|，对任意的x∈R总有f(－x)＝－f(x)，且g(－1)＝1，则g(1)＝(　　)

A．－1    B．－3    C．3    D．1

【解析】选B.根据题意，函数f(x)＝g(x)＋|x|，对任意的x∈R总有f(－x)＝－f(x)，

则有f(－1)＝－f(1)，即f(－1)＋f(1)＝0，

则有g(－1)＋|－1|＋g(1)＋|1|＝0，

又由g(－1)＝1，则g(1)＝－3.

2．函数f(x)＝ax3＋2bx＋a－b是奇函数，且其定义域为[3a－4，a]，则f(a)＝(　　)

A．4    B．3    C．2    D．1

【解析】选B.因为奇函数的定义域为[3a－4，a]，

所以3a－4＋a＝0，得4a＝4，a＝1，

则f(x)＝x3＋2bx＋1－b，

又f(0)＝0，得f(0)＝1－b＝0，则b＝1，

即f(x)＝x3＋2x，则f(a)＝f(1)＝1＋2＝3.

3．函数f(x)＝＋x3的图像关于(　　)

A．坐标原点对称    B．x轴对称

C．y轴对称       D．直线y＝x对称

【解析】选A.函数f(x)的定义域关于原点对称，

又因为f(－x)＝－x3＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数，其图像关于坐标原点对称．

4．(2021·北京高一检测)下列函数既是奇函数又是增函数的是(　　)

A．y＝－x2＋1　　 B．y＝

C．y＝－    D．y＝x|x|

【解析】选D.对于A，函数y＝－x2＋1为偶函数，故A错误；

对于B，函数y＝的定义域为，所以该函数为非奇非偶函数，故B错误；

对于C，函数y＝－在整个定义域内不单调，故C错误；

对于D，函数y＝x|x|＝，所以该函数为奇函数且单调递增，故D正确．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．下列四个选项中不正确的是(　　)

A．偶函数的图像一定与y轴相交

B．奇函数的图像在[a，b]，[－b，－a]上的单调性一定相同

C．偶函数的图像关于y轴对称

D．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图像必过(－a，f(a))

【解析】选AD.偶函数的图像一定关于y轴对称，但不一定与y轴相交，例如，函数f(x)＝x0，其定义域为{x|x≠0}，故其图像与y轴不相交，但f(x)＝x0＝1(x≠0)是偶函数，从而可知A是错误的，C是正确的．

奇函数的图像关于原点对称，若在[a，b]内单调递增(单调递减)，则在[－b，－a]内也为单调递增(单调递减)，故B正确．若点(a，f(a))在奇函数y＝f(x)(x∈R)的图像上，则点(－a，－f(a))也在其图像上，故D是错误的．

【补偿训练】

 下列函数中，既是奇函数又是偶函数的是(　　)

A．f(x)＝＋

B．f(x)＝＋

C．f(x)＝0

D．f(x)＝

【解析】选AC.A中f(x)＝＋的定义域为{1，－1}，且f(x)＝0.

故f(x)既是奇函数又是偶函数；C中f(x)＝0，定义域为R，

故f(x)既是奇函数又是偶函数．

6．(2021·南京高一检测)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一享有“数学王子”的称号他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家用其名字命名了“高斯函数”．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，则关于函数g(x)＝[f(x)]的叙述中正确的有(　　)

A．g(x)是偶函数

B．f(x)是奇函数

C．g(x)的值域是{－1，0}

D．g(x)是R上的增函数

【解析】选AC.因为f(x)＝－＝－＝－，

所以当x2＋1≥2，即x≤－1或x≥1时，f(x)∈，g(x)＝[f(x)]＝0，

当x2＋1<2，即－1<x<1时，f(x)∈，

g(x)＝[f(x)]＝－1，

所以g(x)＝，

所以g(x)为偶函数，g(x)的值域为{－1，0}．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．(2021·青岛高一检测)若函数f(x)＝(a＋x)(2－x)(a∈R)是偶函数，则a＝________，值域为________.

【解析】f(x)＝(a＋x)(2－x)＝－x2＋(2－a)x＋2a，定义域为R，f(－x)＝－x2－(2－a)x＋2a.

因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x).

所以2－a＝0，即a＝2.

f(x)＝－x2＋4，因为－x2≤0，所以－x2＋4≤4.即值域为.

答案：2　

【补偿训练】

 已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于(　　)

A．－26    B．－18    C．－10    D．10

【解析】选A.令g(x)＝x5＋ax3＋bx，

易知g(x)是在R上的奇函数，

从而g(－2)＝－g(2)，

又f(x)＝g(x)－8，

所以f(－2)＝g(－2)－8＝10，

所以g(－2)＝18，

所以g(2)＝－g(－2)＝－18.

所以f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.

8．若函数f(x)＝是奇函数，则实数m＝________．

【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(－x)

＝－f(x)，即＝－，

所以－x－2m＋1＝－x＋2m－1，

所以－2m＋1＝2m－1，所以m＝.

答案：

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．(2021·南京高一检测)函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；

(3)解不等式f(3t－1)＋f(t)<0.

【解析】(1)由题意得

解得f(x)＝，

此时f(－x)＝＝－f(x)，满足题意，

所以f(x)＝.

(2)任取x1x2∈(－1，1)且x1<x2，

f(x1)－f(x2)＝－

＝.

因为－1<x1<x2<1，

所以x2－x1>0，x1x2－1<0，

(x＋1)(x＋1)>0，

所以f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2)，

所以f(x)在(－1，1)上是增函数．

(3)因为f(3t－1)＋f(t)<0，

所以f(3t－1)<－f(t)，

因为f(x)是(－1，1)上的奇函数，

所以f(3t－1)<f(－t)，

由(2)知f(x)是(－1，1)上的增函数，

所以，0<t<，

所以不等式的解集为.

10．已知函数f(x)＝1－.

(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值．

(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．

【解析】(1)由已知g(x)＝f(x)－a，

得g(x)＝1－a－.

因为g(x)是奇函数，

所以g(－x)＝－g(x)，

即1－a－＝－，

解得a＝1.

(2)函数f(x)在(0，＋∞)内是单调递增函数，证明如下：设0<x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝1－－

＝.

由于x1－x2<0，x1x2>0，

从而<0，

即f(x1)<f(x2).

所以函数f(x)在(0，＋∞)内是单调递增函数．

【应用创新练】

1．f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x≤0时(　　)

A．f(x)≤2    B．f(x)≥2

C．f(x)≤－2   D．f(x)∈R

【解析】选B.画出f(x)的大致图像，

易知当x≤0时，有f(x)≥2.

2．已知f(x)，g(x)均为R上的奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上的最大值为5，则F(x)在(－∞，0)上的最小值为________．

【解析】F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上的最大值为5，且f(x)，g(x)均为奇函数，

则F(x)－2＝af(x)＋bg(x)在(0，＋∞)上的最大值为3.根据奇函数的性质可知F(x)－2＝af(x)＋bg(x)在(－∞，0)上的最小值为－3，故F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上的最小值为－3＋2＝－1.

答案：－1