高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用第2课时同步测试题

二十五　函数奇偶性的应用

【基础全面练】　(15分钟·35分)

1.(2021·芜湖高一检测)若偶函数f(x)在上为增函数且有最小值0，则它在上(　　)

A．为减函数，有最大值0

B．为增函数，有最大值0

C．为减函数，有最小值0

D．为增函数，有最小值0

【解析】选C.因为偶函数f(x)在[1，3]上为增函数，且有最小值0，

所以函数f(x)在[－3，－1]上为减函数，且有最小值0.

2．已知函数y＝f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是(　　)

A．f(x)＝x2＋2x－3　　B．f(x)＝x2－2x－3

C．f(x)＝x2＋2x＋3    D．f(x)＝－x2＋2x＋3

【解析】选C.若x<0，则－x>0，

因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，

所以f(－x)＝x2＋2x＋3，

因为函数f(x)是偶函数，

所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝f(x)，

所以当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.

3．定义在R上的函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)＜0的解集是(　　)

A．(－3，0)∪(3，＋∞)

B．(－∞，－3)∪(0，3)

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

D．(－3，0)∪(0，3)

【解析】选B.因为f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，

所以f(x)在(－∞，0)内是增函数，

因为f(－3)＝－f(3)＝0，

所以f(3)＝0.

当x>0时，由f(x)＜0＝f(3)，

得0<x<3，

当x<0时，由f(x)＜0＝f(－3)，

所以x<－3，

当x＝0时，f(x)＝0不符合题意，

故f(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0，3).

【补偿训练】

 已知奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为(　　)

A．(－∞，0)

B．(0，＋∞)

C．(－1，0)∪(0，1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

【解析】选C.根据题意，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，

则在(0，1)上，f(x)＜0，在(1，＋∞)上，f(x)＞0.

又由f(x)为奇函数，则在(－∞，－1)上，f(x)＜0，在(－1，0)上，f(x)＞0，＜0⇔或，

则有－1＜x＜0或0＜x＜1，

即不等式＜0的解集为(－1，0)∪(0，1).

4．已知f(x)＝(k－2)x2＋(k－3)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间为________．

【解析】由偶函数的定义知k＝3，f(x)＝x2＋3，

其图像开口向上，所以f(x)的递减区间是(－∞，0].

答案：(－∞，0]

5．(2021·长沙高一检测)已知函数f(x)的图像关于y轴对称，当x≥0时，f(x)单调递增，则不等式f(2x)>f(1－x)的解集为________．

【解析】依题意，f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)单调递增，

要满足f(2x)>f(1－x)，则要求|2x|>|1－x|，两边平方得4x2>1－2x＋x2，

即3x2＋2x－1>0，即(x＋1)(3x－1)>0，

解得x∈(－∞，－1)∪.

答案：(－∞，－1)∪

6．(2021·马鞍山高一检测)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝－x2＋4x.

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)若函数y＝f(x)在区间(t，t＋1)上是单调函数，求t的取值范围．

【解析】(1)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝－x2＋4x，又因为y＝f(x)为奇函数，

则任取x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，f(x)＝－f(－x)＝x2＋4x，

所以f(x)＝

(2)由(1)知

由图可知，y＝f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减， 在[－2，2]上单调递增，

因为函数y＝f(x)在区间(t，t＋1)上是单调函数，

当t＋1≤－2，即t≤－3时，函数y＝f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减；

当－2≤t且t＋1≤2，即－2≤t≤1时，函数y＝f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增；

当t≥2时，函数y＝f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减．

综上，t≤－3或t≥2时，函数y＝f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减；当－2≤t≤1时，函数y＝f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增．即t的取值范围是t≤－3或t≥2或－2≤t≤1.

【综合突破练】　(30分钟·60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．函数y＝|x－1|的图像是(　　)

【解析】选A.根据函数的定义域为{x|x≠0}可知选项B，选项C不正确；根据函数y＝|x－1|的值恒正，可知选项D不正确．

2．函数f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)<f(2a＋1)，则a的取值范围是(　　)

A．a>1       B．a<－2

C．a>1或a<－2    D．－1<a<2

【解析】选C.因为函数f(x)在实数集R上是偶函数，且f(3)<f(2a＋1)，

所以f(3)<f(|2a＋1|)，

又函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，

所以3<|2a＋1|，解得a>1或a<－2.

3．定义在R上的奇函数f(x)，满足f＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则不等式xf(x)＞0的解为(　　)

A．

B．

C．

D．

【解析】选C.因为函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f＝0，所以f＝0，且在区间(－∞，0)上单调递减，

因为当－＜x＜0时，f(x)＜0，此时xf(x)＞0，

当0＜x＜时，f(x)＞0，此时xf(x)＞0，

综上，xf(x)＞0的解集为{x|0<x<或－<x<0}．

4．(2021·兰州高一检测)函数f(x)的定义域为R，对任意的x1，x2∈，有<0，且函数f为偶函数，则(　　)

A．f(1)<f(－2)<f(3)

B．f(3)<f(－2)<f(1)

C．f(－2)<f(3)<f(1)

D．f(－2)<f(1)<f(3)

【解析】选C.因为对任意的x1，x2∈，有<0，

所以对任意的x1，x2∈，x2－x1与f(x2)－f(x1)均为异号，

所以f(x)在[1，＋∞)上单调递减，又函数f为偶函数，即f(x＋1)＝f(1－x)，

所以f(－2)＝f(4)，

所以f(－2)＝f(4)<f(3)<f(1).

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1).则下列各式中一定成立的是(　　)

A．f(－3)>f(－1)    B．f(0)<f(5)

C．f(－1)<f(3)     D．f(2)>f(0)

【解析】选AC.因为f(x)为偶函数，

所以f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，

又f(3)>f(1)，

所以f(－3)>f(－1)，f(3)>f(－1)都成立．

6．已知狄利克雷函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)的值域为[0，1]

B．f(x)的定义域为R

C．f(x＋1)＝f(x)

D．f(x)是奇函数

【解析】选BC.对于A，f(x)的值域为{0，1}，故A错误．

对于B，f(x)的定义域为R，故B正确．

对于C，当x是有理数时，x＋1也为有理数；当x是无理数时，x＋1也为无理数，故f(x＋1)＝f(x)成立，故C正确．

对于D, 因为f(0)＝1，故D错误．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2 020，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________．

【解析】由于偶函数的图像关于y轴对称，

所以f(x)在对称区间内的最值相等．

又当x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝2 020，

故当x∈(－∞，0)时，f(x)min＝2 020.

答案：2 020

8．(2021·潍坊高一检测)函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－2)的图像关于点(2，0)对称，则满足f(4x－4)＋f(x2－x)<0的实数x的取值范围为________．

【解析】函数y＝f(x－2)的图像关于点(2，0)对称，

则函数y＝f(x)的图像关于点(0，0)对称，即y＝f(x)为奇函数，满足f(－x)＝－f(x).

所以f(4x－4)＋f(x2－x)<0，f(4x－4)<

－f(x2－x)⇒f(4x－4)<f(－x2＋x)，

又因为y＝f(x)是定义在R上的增函数，所以4x－4<－x2＋x⇒－4<x<1.

答案：(－4，1)

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．设函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋4x.

(1)求f(x)的表达式．

(2)证明f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．

【解析】(1)当x<0时，－x>0，

所以f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＝x2－4x.

因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2－4x)＝－x2＋4x(x<0)，

所以f(x)＝

(2)设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，

则f(x2)－f(x1)＝(x＋4x2)－(x＋4x1)

＝(x2－x1)(x2＋x1＋4).

因为0<x1<x2，所以x2－x1>0，x2＋x1＋4>0，

所以f(x2)－f(x1)>0，

所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)是(0，＋∞)上的增函数．

10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时f(x)＝－x2－2x.

(1)求函数f(x)的解析式．

(2)若对任意实数m，f(m－1)＋f(m2＋t)＜0恒成立，求实数t的取值范围．

【解析】(1)当x＜0时，－x＞0，又因为f(x)为奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x2＋2x)＝x2－2x，

所以f(x)＝；

(2)f(m－1)＋f(m2＋t)＜0，

所以f(m－1)＜－f(m2＋t)，

又f(x)是奇函数，所以f(m－1)＜f(－t－m2)，

又因为f(x)为R上的单调递减函数，

所以m－1＞－t－m2恒成立，

所以t＞－m2－m＋1＝－＋恒成立，

所以t＞，即实数t的范围为.

【应用创新练】

1．函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，且f(x)＋g(x)＝，则f(x)等于(　　)

A．    B．

C．    D．

【解析】选A.由题知f(x)＋g(x)＝①

以－x代x，①式得f(－x)＋g(－x)＝，

即f(x)－g(x)＝②

①＋②得f(x)＝.

2．已知函数f(x)＝x2＋2ax－1.

(1)若f(1)＝2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值．

(2)若f(x)为偶函数，求实数a的值．

(3)若f(x)在(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围．

【解析】(1)由题意可知，f(1)＝1＋2a－1＝2，即a＝1，

此时函数f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2，

故当x＝－1时，函数f(x)min＝－2.

(2)若f(x)为偶函数，则对任意x∈R，

f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)－1＝f(x)＝x2＋2ax－1，化简得，4ax＝0，故a＝0.

(3)函数f(x)＝x2＋2ax－1的单调递减区间是(－∞，－a]，而f(x)在(－∞，4]上单调递减，

所以4≤－a，即a≤－4，

故实数a的取值范围为(－∞，－4].