人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试课时作业

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试课时作业，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第三章测评(二)
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线y=kx-k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系为(　　)
　　　　　　　　　　　　
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
解析直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.
答案A
2.如果方程x2a2+y2a+6=1表示焦点在x轴上的椭圆,那么实数a的取值范围是(　　)
A.(3,+∞) B.(-∞,-2)
C.(-∞,-2)∪(3,+∞) D.(-6,-2)∪(3,+∞)
答案D
3.(2021贵州贵阳模拟)已知椭圆C:x2m+y24=1(m>4)的离心率为33,则椭圆C的长轴长为(　　)
A.6 B.6 C.26 D.12
解析由题意可知m-4m=33,解得m=6,即a=6,所以椭圆长轴长为26.
答案C
4.已知点M(3,y0)是抛物线y2=2px(0 A.1 B.2 C.32 D.3
解析由抛物线的定义及已知条件可得3+p2=23-p2,又0 答案B
5.(2021山西运城一模)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>b>0)的两条渐近线夹角为α,且tan α=43,则其离心率为(　　)
A.52 B.2或5 C.5 D.52或5
解析∵双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)的两条渐近线夹角为α,且tanα=43,∴一条渐近线的斜率为tanα2,
则2tanα21-tan2α2=43,解得tanα2=12或tanα2=-2(舍),
∴e2=1+ba2=54,∴e=52(负值舍掉).
答案A
6.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线(　　)
A.有且只有一条 B.有且只有两条
C.有且只有三条 D.有且只有四条
解析设该抛物线的焦点为F,A,B的横坐标分别为xA,xB,则|AB|=|AF|+|FB|=xA+p2+xB+p2=xA+xB+1=3>2p=2.所以符合条件的直线有且只有两条.
答案B
7.

如图所示,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点M,连接MF2,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为(　　)
A.6 B.3
C.2 D.5
解析将x=c代入双曲线的方程,得y=±b2a,
∵点M在第一象限,
∴Mc,b2a.
在△MF1F2中,tan30°=b2a2c,即c2-a22ac=33,
解得e=ca=3,e=-33(舍).
答案B
8.(2021河南郑州模拟)已知双曲线D:x2-y2=1,点M在双曲线D上,点N在直线l:y=kx上,l的倾斜角θ∈π4,π2,且|ON|2=cos2θ1+cos2θ,双曲线D在点M处的切线与l平行,则△OMN的面积的最大值为(　　)
A.3-54 B.3-52
C.3-2 D.3-22
解析由题意,不妨设M(x0,y0)在第一象限,则双曲线D在M处的切线方程为x0x-y0y=1,
所以k=x0y0,又因为x02-y02=1,
联立k=x0y0,x02-y02=1,解得x0=kk2-1,y0=1k2-1.点M到直线l的距离d=|kx0-y0|1+k2=k2k2-1-1k2-11+k2=k2-1k2+1,
因为|ON|2=cos2θ1+cos2θ,所以|ON|=cos2θ1+cos2θ=cos2θsin2θ+2cos2θ=1k2+2,所以S△OMN=12|ON|·d=121k2+2·k2-1k2+1=12k2-1k4+3k2+2,
令t=k2-1,则k2=t+1,因为θ∈π4,π2,
所以k>1,
所以t>0,
S△OMN=12tt2+5t+6=121t+6t+5≤125+26=12(3+2)=3-22,当且仅当t=6t,即t=6时取等号,即面积取到最大值3-22.
答案D
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线C的离心率等于(　　)
A.32 B.23 C.12 D.2
解析设圆锥曲线C的离心率为e,
根据|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,
若圆锥曲线为椭圆,
则由椭圆的定义,得e=|F1F2||PF1|+|PF2|=34+2=12;若圆锥曲线为双曲线,则由双曲线的定义,
得e=|F1F2||PF1|-|PF2|=34-2=32.
综上,所求的离心率为12或32.故选AC.
答案AC
10.(2021广东广州模拟)已知方程x2sin θ-y2sin 2θ=1,则(　　)
A.存在实数θ,使该方程对应的图形是圆,且圆的面积为4π3
B.存在实数θ,使该方程对应的图形是平行于x轴的两条直线
C.存在实数θ,使该方程对应的图形是焦点在x轴上的双曲线,且双曲线的离心率为2
D.存在实数θ,使该方程对应的图形是焦点在x轴上的椭圆,且椭圆的离心率为33
解析对于A:若存在,只需sinθ=-sin2θ>0,
即sinθ=-2sinθcosθ>0,
得cosθ=-12,所以sinθ=32,方程即为x2+y2=233,圆的半径满足r2=233,故圆面积为πr2=π×233=23π3,故A错误;
对于B:令sinθ=0,则有sin2θ=2sinθcosθ=0,方程化为0=1,显然不成立,故B错误;
对于C:取sinθ=sin2θ>0,由前面可知,sinθ≠0,所以cosθ=12,取θ=π3,则方程为x2233-y2233=1,为等轴双曲线,故离心率为2,故C正确;
对于D:将方程化为标准形式为x21sinθ+y2-1sin2θ=1,故a2=1sinθ>0,b2=-1sin2θ>0,且1sinθ>-1sin2θ,则由已知得1sinθ+1sin2θ1sinθ=ca2=e2=13,
整理得1+2cosθ2sinθcosθ2cosθ2sinθcosθ=1+12cosθ=13,解得cosθ=-34,又由上述三个不等式知sinθ>0,cosθ<-12,所以显然存在满足题意的θ的值,故D正确.
答案CD
11.(2021山东滨州一模)已知椭圆M:x225+y220=1的左、右焦点分别是F1,F2,左、右顶点分别是A1,A2,点P是椭圆上异于A1,A2的任意一点,则下列说法正确的是(　　)
A.|PF1|+|PF2|=5
B.直线PA1与直线PA2的斜率之积为-45
C.存在点P满足∠F1PF2=90°
D.若△F1PF2的面积为45,则点P的横坐标为±5
解析由椭圆方程可得:a=5,c=5,
则F1(-5,0),F2(5,0),A1(-5,0),A2(5,0),
由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10,故A错误;
设点P的坐标为(m,n),
则m225+n220=1,即n2=201-m225=45(25-m2),
则kPA1=nm+5,kPA2=nm-5,
所以kPA1·kPA2=n2m2-25=45(25-m2)m2-25=-45,故B正确;
PF1=(-5-m,-n),PF2=(5-m,-n),
若∠F1PF2=90°,则PF1·PF2=m2-5+n2=0,
又n2=45(25-m2),联立可得15m2+15=0,方程无解,故C错误;
S△PF1F2=12|F1F2||yP|=12×25×|yP|=45,
解得yP=±4,代入椭圆方程可得xP=±5,故D正确.
答案BD
12.(2021江苏南通模拟)设A,B是抛物线y=x2上的两点,O是坐标原点,下列结论正确的是(　　)
A.若OA⊥OB,则|OA||OB|≥2
B.若OA⊥OB,直线AB过定点(1,0)
C.若OA⊥OB,点O到直线AB的距离不大于1
D.若直线AB过抛物线的焦点F,且|AF|=13,则|BF|=1
解析对于A,设A(x1,x12),B(x2,x22).
∵OA⊥OB,∴OA·OB=0,
∴x1x2+(x1x2)2=0,
∴x1x2(1+x1x2)=0,∴x2=-1x1,
∴|OA||OB|=x12(1+x12)1x121+1x12=1+x12+1x12+1≥2+2|x1|·1|x1|=2,当且仅当x1=±1时等号成立,故A正确;
对于B,若OA⊥OB,显然直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,
联立方程y=kx+m,y=x2,消去y得x2-kx-m=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
∴x1+x2=k,x1x2=-m,
∴y1y2=x12x22=(x1x2)2=m2,
∵OA⊥OB,∴OA·OB=0,∴x1x2+y1y2=0,
∴-m+m2=0,∴m=0或m=1,
易知直线AB不过原点,∴m=1,
∴直线AB的方程为y=kx+1,恒过定点(0,1),故B错误;
∴点O到直线AB的距离d=11+k2.
∵k2≥0,∴k2+1≥1,∴d≤1,故C正确;
对于D,直线AB过抛物线的焦点F0,14,设直线AB的方程为y=kx+14,
联立方程y=kx+14,x2=y,消去y得x2-kx-14=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设点A在y轴右侧,
∴x1+x2=k,x1x2=-14,
∴|AF|=y1+14=13,∴y1=112,∴x1=36,
∴x2=-14x1=-32,∴y2=34,
∴|BF|=y2+14=1,故D正确.
答案ACD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知椭圆C:x23+y2=1,过C上一点P(第一象限)的直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B.若|PA|=1,则|PB|的值为.
解析过点P作y轴的垂线,垂足为点Q,如图,

设P(3cosθ,sinθ),A(a,0),
∵|PA|=1,∴sin2θ+(3cosθ-a)2=1,
得a=(3+1)cosθ,或a=(3-1)cosθ,
∵3cosθ ∵△PQB∽△AOB,∴|PQ||OA|=|PB||BA|.
设|PB|=m,则|AB|=m+1,
又|PQ||OA|=3cosθ(3+1)cosθ=3-32,
∴mm+1=3-32,解得m=3.
答案3
14.(2021海南三亚三模)双曲线x24-y2b2=1(b>0)的离心率为52,则b=　　　　　,过双曲线的右焦点F作直线垂直于双曲线的一条渐近线,垂足为A,设O为坐标原点,则|OA|=　　　　　. 
解析因为双曲线x24-y2b2=1(b>0)的离心率为52,
可得4+b22=52,则b=1,
所以双曲线x24-y2=1的右焦点F(5,0),
其中一条渐近线方程为x-2y=0,
所以|AF|=51+22=1,
所以|OA|=(5)2-12=2.
答案1　2
15.过点A(2,2)作直线AB,AC与圆x2+(y-2)2=1相切,且交抛物线x2=2y于B,C两点,则直线BC的方程为　　　　　. 
解析显然直线AB,AC的斜率存在且不为0,设过点A的圆的切线的方程为y-2=k(x-2),
即kx-y-2k+2=0,
圆的圆心坐标为(0,2),
由直线与圆相切可得1=|2k|1+k2,可得k=±33,
不妨设直线AB的斜率为33,所以直线AB的方程为y-2=33(x-2),设B(x1,y1),C(x2,y2),由直线AB的方程与抛物线的方程联立消去y,得x2-233x+433-4=0,
解得x=233-2或x=2,即点B的横坐标x1=233-2,
同理可得C的横坐标为x2=-233-2,所以直线BC的方程为y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1)=x222-x122x2-x1(x-x1)=x1+x22(x-x1),所以y-x122=x1+x22(x-x1),
即y-233-222=-2x-233+2,
整理可得直线BC的方程为6x+3y+4=0.
答案6x+3y+4=0

16.(2021上海徐汇检测)如图,P为椭圆E1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一动点,过点P作椭圆E2:x2a2+y2b2=λ(0<λ<1)的两条切线PA,PB,斜率分别为k1,k2,若k1k2为定值,则λ=　　　　　. 
解析设点P(x0,y0),则过点P的直线方程为y-y0=k(x-x0),联立y-y0=k(x-x0),x2a2+y2b2=λ,
化简得(b2+a2k2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-λa2b2=0,
因为直线与椭圆相切,所以Δ=[2a2k(y0-kx0)]2-4(b2+a2k2)[a2(y0-kx0)2-λa2b2]=0,
展开得4a4k2(y0-kx0)2-4a2(b2+a2k2)(y0-kx0)2+4a2λb2(b2+a2k2)=0,
即-b2(y0-kx0)2+λb2(b2+a2k2)=0,
即(y0-kx0)2-λb2-λa2k2=0,
整理为关于k的方程可得(x02-λa2)k2-2x0y0k+y02-λb2=0,
因为有两条切线,
所以此方程有两个不等的实数根,
因为k1k2为定值,可设k1k2=t,
由根与系数的关系k1k2=y02-λb2x02-λa2=t,
化简得y02-λb2=tx02-tλa2,
因为P(x0,y0)在椭圆E1上,代入可得x02a2+y02b2=1(a>b>0),
化简可得b2x02+a2y02=a2b2,
则y02-λb2=tx02-tλa2,b2x02+a2y02=a2b2,
化简得λ=12.
答案12
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)中心在原点,焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=213,椭圆的半长轴与双曲线的半实轴之差为4,离心率之比为3∶7,求这两条曲线的标准方程.
解设椭圆的方程为x2a12+y2b12=1(a1>b1>0),
双曲线的方程为x2a22-y2b22=1(a2>0,b2>0),c=13,由已知,得a1-a2=4,ca1∶ca2=3∶7,
解得a1=7,a2=3,
所以b12=36,b22=4,
所以两条曲线的标准方程分别为x249+y236=1,x29-y24=1.

18.(12分)已知抛物线y2=2px(p>0)上的点T(3,t)到焦点F的距离为4.
(1)求t,p的值;
(2)设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且OA·OB=5(其中O为坐标原点).求证:直线AB过定点,并求出该定点的坐标.
(1)解由抛物线的定义,得3+p2=4,解得p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x,
将点T(3,t)代入,得t2=12,解得t=±23.
(2)证明设直线AB的方程为x=my+n,
Ay124,y1,By224,y2,
联立y2=4x,x=my+n,消去x得y2-4my-4n=0,
则y1+y2=4m,y1y2=-4n.
由OA·OB=5,得(y1y2)216+y1y2=5,
所以y1y2=-20或y1y2=4(舍去),
即-4n=-20,n=5,
所以直线AB的方程为x=my+5,
所以直线AB过定点(5,0).
19.(12分)(2021广东东莞模拟)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线右支上一点,PF2⊥F1F2,OH⊥PF1,垂足为点H,OH=λOF1,λ∈19,12.
(1)当λ=13时,求双曲线的渐近线方程;
(2)求双曲线的离心率e的取值范围.
解如图,当x=c时,代入双曲线方程可得y=±b2a,

由相似三角形可知,|OH||PF2|=|OF1||PF1|,
得λ=b2a2a+b2a,
∴2a2λ+b2λ=b2,整理得b2a2=2λ1-λ.
(1)当λ=13时,b2a2=1,则a=b,双曲线的渐近线方程为y=±x.
(2)∵|PF2|=b2a,∴e2=c2a2=1+b2a2=1+2λ1-λ=1-2λλ-1=-1-2λ-1在19,12上单调递增,∴λ=12时,e2的最大值为3,当λ=19时,e2的最小值为54,∴54≤e2≤3,即52≤e≤3.故离心率的取值范围为52,3.
20.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,点(2,2)在C上.
(1)求C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
(1)解由题意,得a2-b2a=22,①
又点(2,2)在C上,所以4a2+2b2=1,②
联立①②,可解得a2=8,b2=4.
所以C的方程为x28+y24=1.
(2)证明由题意知,直线l的斜率存在且不为0.
设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入x28+y24=1,
整理得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
故xM=x1+x22=-2kb2k2+1,yM=kxM+b=b2k2+1.
所以直线OM的斜率kOM=yMxM=-12k,
所以kOMk=-12.
故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
21.(12分)已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分.
(1)求直线l的方程;
(2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线l对称?若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由.
解(1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0.
设直线AB:x-2=m(y-2),m≠0,
与抛物线方程联立消去x,可得y2-8my+16m-16=0.
判别式Δ=(-8m)2-4(16m-16)
=64m-122+34>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有y1+y2=8m,
由8m=4,得m=12,
所以直线l的方程为2x-y-2=0.
(2)不存在.理由如下,假设C,D两点存在,
则可设lCD:y=-12x+n,与抛物线方程y2=8x联立,
消去y,得14x2-(n+8)x+n2=0,
其中Δ=(n+8)2-n2=16n+64>0,
则n>-4.(*)
又因为xC+xD=4(n+8),
所以CD的中点为(2(n+8),-8),代入直线l的方程,
得n=-192,不满足(*)式.
所以满足题意的C,D两点不存在.
22.(12分)从椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且它的长轴的一个端点A与短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设Q是椭圆上任一点,F2是椭圆的右焦点,求∠F1QF2的取值范围.
解(1)依题意知F1点坐标为(-c,0),
不妨设M点坐标为(-c,y0)(y0>0).
若A点坐标为(-a,0),则B点坐标为(0,-b),
则直线AB的斜率k=-ba.
A点坐标为(a,0),B点坐标为(0,b)时,同样有k=-ba
则有y0-c=-ba,∴y0=bca.①
又点M在椭圆x2a2+y2b2=1上,∴c2a2+y02b2=1.②
由①②得c2a2=12,∴ca=22,
即椭圆的离心率为22.
(2)①当点Q与椭圆长轴的端点重合时,
∠F1QF2=0.
②当点Q与椭圆长轴的端点不重合时,
设|QF1|=m,|QF2|=n,∠F1QF2=θ,
则m+n=2a,|F1F2|=2c.
在△F1QF2中,cosθ=m2+n2-4c22mn
=(m+n)2-2mn-2a22mn=a2mn-1≥a2m+n22-1=0.
故当点Q与椭圆长轴的端点不重合时,当且仅当m=n时,等号成立,
∴0≤cosθ<1,又∵θ∈(0,π),
∴θ∈0,π2.
综上,∠F1QF2的取值范围是0,π2.