高中数学模块综合训练含解析新人教A版选择性必修第一册

这是一份选择性必修 第一册全册综合课堂检测，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模块综合训练
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线3x-y-2 021=0的倾斜角等于(　　)
　　　　　　　　　　　　
A.π6 B.π3
C.π4 D.不存在
解析直线3x-y-2021=0化为y=3x-2021,则直线的斜率为3,所以直线的倾斜角等于π3.故选B.
答案B
2.(2020天津,7)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为(　　)
A.x24-y24=1
B.x2-y24=1
C.x24-y2=1
D.x2-y2=1
解析∵双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±bax,y2=4x的焦点坐标为(1,0),l为yb+x1=1,即y=-bx+b,
∴-b=-ba且-b·ba=-1,
∴a=1,b=1.故选D.
答案D
3.若圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a的值等于(　　)
A.0 B.2
C.1 D.±2
解析圆x2+y2-ax-2y+1=0的标准方程为x-a22+(y-1)2=a24,圆心坐标为a2,1,
圆x2+y2-4x+3=0的标准方程为(x-2)2+y2=1,圆心坐标为(2,0),半径为1,
连心线所在直线的斜率为1a2-2=2a-4,
中点坐标为a+44,12,
由题意可得a24=1,2a-4·1=-1,a+44-12-1=0,解得a=2.
答案B
4.如图,在棱长均相等的四面体O-ABC中,点D为AB的中点,CE=12ED,设OA=a,OB=b,OC=c,则OE=(　　)

A.16a+16b+13c
B.13a+13b+13c
C.16a+16b-13c
D.16a+16b+23c
解析∵CE=12ED,∴CE=13CD=13CA+AD
=13CA+12AB=13CA+16AB,
∴OE=OC+CE=OC+13CA+16AB
=OC+13OA-OC+16OB-OA
=16OA+16OB+23OC=16a+16b+23c.
答案D
5.若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为(　　)
A.2 B.3
C.2 D.233
解析双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,
圆心(2,0)到渐近线距离为d=22-12=3,
则点(2,0)到直线bx+ay=0的距离为
d=|2b+a×0|a2+b2=2bc=3,即4(c2-a2)c2=3,整理可得c2=4a2,双曲线的离心率e=c2a2=4=2.
答案A
6.

如图,在几何体ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形,AA1∥BB1∥CC1,AA1⊥平面ABC,若E是棱B1C1的中点,且AB=AA1=CC1=2BB1,则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为(　　)
A.1313 B.21313
C.2613 D.22613
解析以C为原点,在平面ABC内过C作BC的垂线为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,设AB=AA1=CC1=2BB1=2,
则A1(3,1,2),A(3,1,0),C1(0,0,2),B1(0,2,1),E0,1,32,A1E=-3,0,-12,AC1=(-3,-1,2),
设异面直线A1E与AC1所成角为θ,
则cosθ=|A1E·AC1||A1E||AC1|=2134·8=2613.
∴异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为2613.
答案C
7.已知抛物线C:y2=8x,圆F:(x-2)2+y2=4(点F为其圆心),直线l:y=k(x-2)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1,M2,M3,M4四点,则下列各式结果为定值的是(　　)
A.|M1M3|·|M2M4|
B.|FM1|·|FM4|
C.|M1M2|·|M3M4|
D.|FM1|·|M1M2|

解析如图,设M1,M2,M3,M4四点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,
由题意知y2=8x的焦点坐标与圆F的圆心(2,0)相同,准线l0:x=-2.
由定义得|M1F|=x1+2.
又|M1F|=|M1M2|+2,
∴|M1M2|=x1,同理,|M3M4|=x4.
将y=k(x-2)代入抛物线方程,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,
∴x1x4=4,∴|M1M2|·|M3M4|=4.故选C.
答案C
8.如图,已知F1,F2是椭圆T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆T上一点,且不与x轴重合,过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线,垂足为Q,则点Q在　　　　　上运动.(　　) 

A.直线
B.圆
C.椭圆
D.抛物线
解析作F2Q与F1P的延长线交于点M,连接OQ(图略).因为PQ是∠F1PF2的外角的平分线,且PQ⊥F2M,所以在△PF2M中,|PF2|=|PM|,且Q为线段F2M的中点.又O为线段F1F2的中点,由三角形的中位线定理,得|OQ|=12|F1M|=12(|PF1|+|PF2|).由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,所以|OQ|=a,所以点Q在以原点为圆心,a为半径的圆上运动.
答案B
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.(2020山东,9)已知曲线C:mx2+ny2=1.(　　)
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为n
C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±-mnx
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
解析∵mx2+ny2=1,∴x21m+y21n=1.
∵m>n>0,∴1n>1m>0,∴C是焦点在y轴上的椭圆,A正确;
∵m=n>0,∴x2+y2=1n,即C是圆,
∴r=nn,B错误;
由mx2+ny2=1,得x21m+y21n=1,∵mn<0,1m与1n异号,∴C是双曲线,令mx2+ny2=0,可得y2=-mnx2,即y=±-mnx,C正确;
当m=0,n>0时,有ny2=1,得y2=1n,即y=±nn,表示两条直线,D正确,故选ACD.
答案ACD
10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=4,BC=2,M,N分别为棱C1D1,CC1的中点,则下列说法正确的是(　　)

A.A,M,N,B四点共面
B.平面ADM⊥平面CDD1C1
C.直线BN与B1M所成的角为60°
D.BN∥平面ADM

解析对于A,由图显然AM、BN是异面直线,故A,M,N,B四点不共面,故A错误;
对于B,由题意AD⊥平面CDD1C1,故平面ADM⊥平面CDD1C1,故B正确;对于C,取CD的中点O,连接BO,ON,可知B1M∥OB,三角形BON为等边三角形,故C正确;对于D,BN∥平面AA1D1D,显然BN与平面ADM不平行,故D错误.
答案BC
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出下列四个结论,其中正确的结论是(　　)
A.(A1A+A1D1+A1B1)2=3A1B12
B.A1C·(A1B1-A1A)=0
C.向量AD1与向量A1B的夹角为60°
D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|
解析A中,设正方体的棱长为1,则(A1A+A1D1+A1B1)2=A1C2=3,3A1B12=3,故A正确;B中,A1B1-A1A=AB1,由AB1⊥A1C,故B正确;C中,A1B与AD1两异面直线所成角为60°,但AD1与A1B的夹角为120°,故C不正确;D中,|AB·AA1·AD|=0,故D也不正确.
答案AB
12.若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线是“好曲线”的是(　　)
A.x+y=5 B.x2+y2=9
C.x225+y29=1 D.x2=16y
解析由双曲线定义可知:点M轨迹是以A,B为焦点的双曲线.则a=4,c=5,∴b2=c2-a2=9,∴M的轨迹方程为x216-y29=1.
直线x+y=5过点(5,0),故直线与M的轨迹有交点,是“好曲线”,A正确;
x2+y2=9是以(0,0)为圆心,3为半径的圆,与M的轨迹没有交点,不是“好曲线”,B错误;
x225+y29=1的右顶点为(5,0),故椭圆与M的轨迹有交点,是“好曲线”,C正确;
把x2=16y代入双曲线方程,可得y2-9y+9=0,此时Δ>0,故抛物线与M的轨迹有交点,是“好曲线”,D正确.
答案ACD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知圆C:x2+y2-2x-1=0,以点12,1为中点的弦所在的直线l的方程是　　　　　　　　. 
解析圆的方程可化为(x-1)2+y2=2,可知圆心为C(1,0).
设A12,1,则以A为中点的弦所在的直线l即为经过点A且垂直于AC的直线.又知kAC=0-11-12=-2,所以kl=12,所以直线l的方程为y-1=12x-12,即2x-4y+3=0.
答案2x-4y+3=0
14.在四棱锥P-ABCD中,设向量AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8),则顶点P到底面ABCD的距离为　　　　　. 
解析设平面ABCD的法向量n=(x,y,z),
则AB·n=4x-2y+3z=0,AD·n=-4x+y=0,
令x=3,则y=12,z=4,∴n=(3,12,4).
∴点P到底面ABCD的距离d=|AP·n||n|=|-18+24-32|9+144+16=2.
答案2
15.(2019全国Ⅲ,理15)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为　　　　　. 
解析∵a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,
∴c=4.由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.
∵|MF1|+|MF2|=2a=12,∴|MF2|=4.
设点M的坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),
则S△MF1F2=12×|F1F2|×y0=4y0.
又S△MF1F2=12×4×82-22=415,
∴4y0=415,解得y0=15.
又点M在椭圆C上,∴x0236+(15)220=1,
解得x0=3或x0=-3(舍去).
∴点M的坐标为(3,15).
答案(3,15)
16.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N,E,F分别是A1B1,AD,B1C1,C1D1的中点,则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为　　　　　,CE和该截面所成角的正弦值为　　　　　. 
解析取A1D1的中点G,BC的中点P,CD的中点H,连接GM,GN,MN,PE,PH,PF,HF,

∵MG∥EF,NG∥EP,MG∩NG=G,EF∩EP=E,∴平面MNG∥平面PEFH,
∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH,
∵PE=2,EF=12+12=2,四边形PEFH是矩形,∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面PEFH的面积为S=22.
以D1为原点,D1A1为x轴,D1C1为y轴,D1D为z轴,建立空间直角坐标系,
E(1,2,0),F(0,1,0),H(0,1,2),C(0,2,2),
EC=(-1,0,2),EF=(-1,-1,0),EH=(-1,-1,2),设平面PEFH的法向量n=(x,y,z),
则n·EF=-x-y=0,n·EH=-x-y+2z=0,取x=1,
得n=(1,-1,0),设CE和该截面所成角为θ,
则sinθ=|EC·n||EC||n|=15·2=1010,
∴CE和该截面所成角的正弦值为1010.
答案22　1010
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.

(10分)一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米,拱顶距离水面6.5米.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系xOy,试求拱桥所在抛物线的方程;
(2)若一竹排上有一个4米宽、6米高的大木箱,问此木排能否安全通过此桥?
解(1)由题意在平面直角坐标系xOy中,
设抛物线方程为y=ax2(a<0).
由条件得点(26,-6.5)在抛物线上,∴-6.5=262a,解得a=-1104,∴抛物线方程为y=-1104x2,即x2=-104y.
(2)由(1)可得抛物线的方程为x2=-104y,
当x=2时,解得y=-126,
∵6.5-6=0.5>126,∴木排可安全通过此桥.
18.

(12分)如图,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程;
(2)当|MN|=219时,求直线l的方程.
解(1)由于圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,
∴R=|-1+4+7|5=25,
∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.
(2)①当直线l与x轴垂直时,易知x=-2与题意相符,使|MN|=219.
②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0,连接AQ,
则AQ⊥MN,∵|MN|=219,∴|AQ|=1,由|AQ|=|-k-2+2k|k2+1=1,得k=34.
∴直线l:3x-4y+6=0,故直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.
19.(12分)(2020山东,20)

如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明:l⊥平面PDC;
(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.
(1)证明因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.
又底面ABCD为正方形,所以AD⊥DC.
所以AD⊥平面PDC.
因为AD∥BC,AD不在平面PBC中,所以AD∥平面PBC,又因为AD⊂平面PAD,平面PAD∩平面PBC=l,所以l∥AD.
所以l⊥平面PDC.
(2)

解以D为坐标原点,分别以DA,DC,DP的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
由PD=AD=1,得D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),则DC=(0,1,0),PB=(1,1,-1).
由(1)可设Q(a,0,1),则DQ=(a,0,1).
设n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,
则n·DQ=0,n·DC=0,即ax+z=0,y=0.可取n=(-1,0,a).
所以cos=n·PB|n||PB|　=-1-a31+a2.
设PB与平面QCD所成角为θ,则sinθ=33×|a+1|1+a2=331+2aa2+1.因为331+2aa2+1≤63,当且仅当a=1时,等号成立,所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.
20.(12分)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点到直线l:x-y-2=0的距离为322.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)设点C是抛物线上的动点,若以点C为圆心的圆在x轴上截得的弦长均为4,求证:圆C恒过定点.
(1)解因为x2=2py的焦点坐标为0,p2,
由点到直线的距离公式可得-p2-22=322,
解得p=2(负值舍去),
所以抛物线的标准方程是x2=4y.
(2)证明设圆心C的坐标为x0,x024,半径为r,
又圆C在x轴上截得的弦长为4,
所以r2=4+x0242,所以圆C的标准方程为(x-x0)2+y-x0242=4+x0242,
化简得1-y2x02-2xx0+(x2+y2-4)=0,
对于任意的x0∈R,上述方程均成立,故有1-y2=0,-2x=0,x2+y2=4,解得x=0,y=2,所以圆C恒过定点(0,2).
21.

(12分)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E是线段CD上靠近点D的一个三等分点,F是线段AD上的一个动点,且DF=λDA(0≤λ≤1).如图,将△BCE沿BE折起至△BEG,使得平面BEG⊥平面ABED.
(1)当λ=12时,求证:EF⊥BG.
(2)是否存在λ,使得FG与平面DEG所成的角的正弦值为13?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
解(1)当λ=12时,F是AD的中点,
∴DF=12AD=1,DE=13CD=1.
∵∠ADC=90°,∴∠DEF=45°.∵CE=23CD=2,BC=2,∠BCD=90°,∴∠BEC=45°.∴BE⊥EF.
又平面GBE⊥平面ABED,平面GBE∩平面ABED=BE,EF⊂平面ABED,
∴EF⊥平面BEG.∵BG⊂平面BEG,∴EF⊥BG.

(2)存在.以C为原点,CD,CB的方向为x轴,y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则E(2,0,0),D(3,0,0),F(3,2λ,0).取BE的中点O,
∵GE=BG=2,∴GO⊥BE,
∴易证得OG⊥平面BCE,∵BE=22,
∴OG=2,∴G(1,1,2).
∴FG=(-2,1-2λ,2),EG=(-1,1,2),DG=(-2,1,2).
设平面DEG的一个法向量为n=(x,y,z),
则n·DG=-2x+y+2z=0,n·EG=-x+y+2z=0,
令z=2,则n=(0,-2,2).
设FG与平面DEG所成的角为θ,
则sinθ=|cos|=|-2×0+(-2)×(1-2λ)+2|6×6+(1-2λ)2=13,解得λ=12或λ=-710(舍去),
∴存在实数λ,使得FG与平面DEG所成的角的正弦值为13,此时λ=12.
22.(12分)(2020山东,22)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,且过点A(2,1).
(1)求C的方程;
(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足,证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.
(1)解由题设得4a2+1b2=1,a2-b2a2=12,
解得a2=6,b2=3,所以C的方程为x26+y23=1.
(2)证明设M(x1,y1),N(x2,y2).
若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入x26+y23=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.
于是x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-61+2k2.
由AM⊥AN知AM·AN=0,
故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,
可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.
因为A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-1≠0,
故2k+3m+1=0,k≠1.
于是MN的方程为y=kx-23-13(k≠1).
所以直线MN过点P23,-13.
若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1).
由AM·AN=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.又x126+y123=1,可得3x12-8x1+4=0.
解得x1=2(舍去)或x1=23.
此时直线MN过点P23,-13.
令Q为AP的中点,即Q43,13.
若D与P不重合,则由题设知AP是Rt△ADP的斜边,故|DQ|=12|AP|=223.
若D与P重合,则|DQ|=12|AP|.
综上,存在点Q43,13,使得|DQ|为定值.