高中第九章解三角形本章综合与测试课堂检测

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这是一份高中第九章解三角形本章综合与测试课堂检测，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA＋bsinBA．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝eq \r(13)，b＝3，A＝60°，则边c等于( )
A．1B．2
C．4D．6
3．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b2－2a2＝ac＋2c2，则sinB等于( )
A.eq \f(\r(15),4)B.eq \f(1,4)
C.eq \f(\r(3),2)D.eq \f(1,2)
4．已知三角形面积为eq \f(1,4)，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )
A．1B．2
C.eq \f(1,2)D．4
5．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2－b2＝ab，C＝eq \f(π,3)，则eq \f(sinA,sinB)的值为( )
A.eq \f(1,2)B．1
C．2D．3
6．若△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为eq \f(1,3)，则其外接圆的直径为( )
A.eq \f(9\r(2),2)B.eq \f(9\r(2),4)
C.eq \f(9\r(2),8)D．9eq \r(2)
二、填空题
7．在△ABC中，已知a＝3eq \r(2)，csC＝eq \f(1,3)，S△ABC＝4eq \r(3)，则b＝________.
8．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3eq \r(15)，b－c＝2，csA＝－eq \f(1,4)，则a的值为________．
三、解答题
10．如图，在△ABC中，B＝eq \f(π,3)，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cs∠ADC＝eq \f(1,7).
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
11．在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，若eq \f(a＋b,a)＝eq \f(csB＋csA,csB)，试判断三角形的形状．
1．(多选)在△ABC中，B＝30°，AB＝2eq \r(3)，AC＝2，则△ABC的面积是( )
A．2eq \r(3)B.eq \r(3)
C．3eq \r(3)D．4eq \r(3)
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝ac且csB＝eq \f(3,4).
(1)则eq \f(1,tanA)＋eq \f(1,tanC)的值为________；
(2)设eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)，则a＋c的值为________．
3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，角C是钝角，且sinB＝eq \f(b,2c).
(1)求角C的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积为eq \r(3)，求c的值．
4．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.
(1)求角A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝eq \r(3)，试判断△ABC的形状．
5．如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(eq \r(3)－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10eq \r(3)海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．
习题课(范围：9.1～9.2)
关键能力综合练
1．答案：C
解析：根据正弦定理可得a2＋b2由余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)<0，故C是钝角，△ABC是钝角三角形．
2．答案：C
解析：∵a2＝c2＋b2－2cbcs A，
∴13＝c2＋9－2c×3×cs 60°，
即c2－3c－4＝0，
解得c＝4或c＝－1(舍去)．
3．答案：A
解析：由2b2－2a2＝ac＋2c2，得2(a2＋c2－b2)＋ac＝0.
由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2accs B，
∴4accs B＋ac＝0.
∵ac≠0，∴4cs B＋1＝0，cs B＝－eq \f(1,4)，又B∈(0，π)，
∴sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(\r(15),4).
4．答案：A
解析：设三角形外接圆半径为R，
则由πR2＝π，得R＝1.
由三角形面积S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(abc,4R)＝eq \f(abc,4)＝eq \f(1,4)，∴abc＝1.
5．答案：C
解析：由余弦定理得c2－b2＝a2－2abcs C＝a2－ab＝ab，所以a＝2b，所以由正弦定理得eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,b)＝2.
6．答案：B
解析：设另一条边长为x，则由余弦定理得，
x2＝22＋32－2×2×3×eq \f(1,3)＝9，∴x＝3.
设cs θ＝eq \f(1,3)，θ是长度为2,3的两边的夹角，
则sin θ＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(2\r(2),3).∴2R＝eq \f(3,sin θ)＝eq \f(3,\f(2\r(2),3))＝eq \f(9\r(2),4).
7．答案：2eq \r(3)
解析：∵cs C＝eq \f(1,3)，C∈(0，π)，∴sin C＝eq \f(2\r(2),3)，
∴eq \f(1,2)absin C＝4eq \r(3)，∴b＝2eq \r(3).
8．答案：30°
解析：∵b＝2a，∴sin B＝2sin A，
又∵B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sin A，
即sin Acs 60°＋cs Asin 60°＝2sin A，
化简得sin A＝eq \f(\r(3),3)cs A，∴tan A＝eq \f(\r(3),3)，
又∵0°9．答案：8
解析：因为cs A＝－eq \f(1,4)，0所以sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(\r(15),4).
由3eq \r(15)＝eq \f(1,2)bcsin A得bc＝24.
又因为b－c＝2，所以b＝6，c＝4.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝36＋16＋12＝64.故a＝8.
10．解析：(1)在△ADC中，
因为cs∠ADC＝eq \f(1,7)，
所以sin∠ADC＝eq \f(4\r(3),7).
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)
＝sin∠ADCcs B－cs∠ADCsin B
＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(1,2)－eq \f(1,7)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),14).
(2)在△ABD中，由正弦定理得
BD＝eq \f(AB·sin∠BAD,sin∠ADB)＝eq \f(8×\f(3\r(3),14),\f(4\r(3),7))＝3.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs B
＝82＋52－2×8×5×eq \f(1,2)＝49.
所以AC＝7.
11．解析：方法一由正弦定理知，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，R为△ABC外接圆半径．
∵eq \f(a＋b,a)＝eq \f(cs B＋cs A,cs B)，结合正弦定理得，
∴eq \f(sin A＋sin B,sin A)＝eq \f(cs B＋cs A,cs B)，
∴sin Acs B＋sin Bcs B＝sin Acs B＋sin Acs A，
∴sin Bcs B＝sin Acs A，∴sin 2B＝sin 2A，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
方法二由eq \f(a＋b,a)＝eq \f(cs B＋cs A,cs B)，得1＋eq \f(b,a)＝1＋eq \f(cs A,cs B)，
eq \f(b,a)＝eq \f(cs A,cs B)，
由余弦定理，得eq \f(cs A,cs B)＝eq \f(\f(b2＋c2－a2,2bc),\f(a2＋c2－b2,2ac))＝eq \f(a,b)·eq \f(b2＋c2－a2,a2＋c2－b2)，
∴eq \f(b,a)＝eq \f(a(b2＋c2－a2),b(a2＋c2－b2)).
a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，a2c2－a4＝b2c2－b4，
c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．
∴a2＝b2或c2＝a2＋b2.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
学科素养升级练
1．答案：AB
解析：在△ABC中，因为B＝30°，AB＝2eq \r(3)，AC＝2，
所以由eq \f(AC,sin B)＝eq \f(AB,sin C)，得sin C＝eq \f(AB·sin B,AC)＝eq \f(\r(3),2)，
又因为AB·sin 30°所以C有两解，所以C＝60°或C＝120°.
由三角形内角和定理得A＝90°或A＝30°.
由面积公式S△ABC＝eq \f(1,2)AB·AC·sin A，
所以S△ABC＝eq \r(3)或S△ABC＝2eq \r(3).
2．答案：(1)eq \f(4\r(7),7) (2)3
解析：(1)由cs B＝eq \f(3,4)，B∈(0，π)，得sin B＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2)＝eq \f(\r(7),4).
由b2＝ac及正弦定理，得sin2B＝sin Asin C.
于是eq \f(1,tan A)＋eq \f(1,tan C)＝eq \f(cs A,sin A)＋eq \f(cs C,sin C)
＝eq \f(sin Ccs A＋cs Csin A,sin Asin C)＝eq \f(sin(A＋C),sin2B)
＝eq \f(sin B,sin2B)＝eq \f(1,sin B)＝eq \f(4\r(7),7).
(2)由eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)，得ca·cs B＝eq \f(3,2)，
由cs B＝eq \f(3,4)，可得ca＝2，即b2＝2，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cs B，
得a2＋c2＝b2＋2ac·cs B＝5，
∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，
又∵a>0，c>0，∴a＋c＝3.
3．解析：(1)由sin B＝eq \f(b,2c)得2csin B＝b，
由正弦定理得2sin Csin B＝sin B，
所以sin B(2sin C－1)＝0，
因为sin B≠0，所以sin C＝eq \f(1,2)，
因为C是钝角，所以C＝eq \f(5π,6).
(2)由S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)a＝eq \r(3)，得a＝2eq \r(3)，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C
＝12＋4－2×2eq \r(3)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝28，
即c的值为2eq \r(7).
4．解析：(1)∵2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，由正弦定理得，
2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，
∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2).
∵0°(2)∵A＋B＋C＝180°，
∴B＋C＝180°－60°＝120°，
由sin B＋sin C＝eq \r(3)，得sin B＋sin(120°－B)＝eq \r(3)，
∴sin B＋sin 120°cs B－cs 120°sin B＝eq \r(3)，
∴eq \f(3,2)sin B＋eq \f(\r(3),2)cs B＝eq \r(3)，即sin(B＋30°)＝1.
又∵0°∴B＋30°＝90°，即B＝60°，
∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为正三角形．
5．解析：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10eq \r(3)t，BD＝10t，
在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs A
＝(eq \r(3)－1)2＋22－2(eq \r(3)－1)·2·cs 120°＝6.
∴BC＝eq \r(6).又∵eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AC,sin∠ABC)，
∴sin∠ABC＝eq \f(AC·sin A,BC)＝eq \f(2·sin 120°,\r(6))＝eq \f(\r(2),2)，
又0°<∠ABC<60°，∴∠ABC＝45°，
∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理得eq \f(BD,sin∠BCD)＝eq \f(CD,sin∠CBD)，
∴sin∠BCD＝eq \f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq \f(10t·sin 120°,10\r(3)t)＝eq \f(1,2).
又∵0°<∠BCD<60°，∴∠BCD＝30°，
∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC，即10t＝eq \r(6).
∴t＝eq \f(\r(6),10)(小时)≈15(分钟)．
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．关键能力综合练
学科素养升级练

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