高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.3 空间中的平行关系11.3.1 平行直线与异面直线同步达标检测题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.3 空间中的平行关系11.3.1 平行直线与异面直线同步达标检测题，共17页。试卷主要包含了3.1　平行直线与异面直线等内容，欢迎下载使用。


1.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，B1C1的中点，证明EF∥BD.
2．如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形．
3.空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )
A．60°B．120°
C．30°D．60°或120°
4．若直线a，b与直线l相交成等角，则直线a，b的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．异面、平行、相交都有可能
5．如图，已知在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：
(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
6.异面直线是指( )
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．空间中既不平行也不相交的两条直线
D．平面内的一条直线与平面外的一条直线
7．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则( )
A．a∥c
B．a，c是异面直线
C．a，c相交
D．a，c平行或相交或异面
8．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )
A．异面B．相交
C．平行D．异面或相交
一、选择题
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A．一定平行B．一定垂直
C．一定是异面直线D．一定相交
2．在三棱台A1B1C1­ABC中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH与B1C1( )
A．相交B．异面
C．平行D．垂直
3．在三棱锥P­ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝( )
A．30°B．45°
C．60°D．90°
4．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )
A．3条B．4条
C．5条D．6条
5．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，G，H分别在边CD，DA上，且满足CG＝eq \f(1,2)GD，DH＝2HA，则四边形EFGH为( )
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．梯形
6．如图所示，已知三棱锥A­BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是( )
A．MN≥eq \f(1,2)(AC＋BD)
B．MN≤eq \f(1,2)(AC＋BD)
C．MN＝eq \f(1,2)(AC＋BD)
D．MN二、填空题
7．过直线l外两点可以作l的平行线的条数为________．
8．对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边的中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是________．
9．如图所示，两个三角形△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且eq \f(AO,A′O)＝eq \f(BO,B′O)＝eq \f(CO,C′O)＝eq \f(2,3)，则eq \f(S△ABC,S△A′B′C′)＝________.
三、解答题
10．(探究题)在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
1．(多选)如图，棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1E＝2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF，则( )
A．EF∥D1C
B．EF＝eq \f(2\r(2),3)a
C．CF＝eq \f(\r(7),3)a
D．三棱锥A­EFC的体积为eq \f(1,54)a3
2．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，H分别为棱C1D1，C1C，DD1的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④∠DAH＝∠CBN.
其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．
3．(学科素养——逻辑推理)如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE：EB＝AH：HD＝m，CF：FB＝CG：GD＝n.
(1)证明：E，F，G，H四点共面；
(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？
(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.
11．3 空间中的平行关系
11．3.1 平行直线与异面直线
必备知识基础练
1．证明：如图所示，连接B1D1，
因为E，F分别是D1C1，B1C1的中点，则EF是△C1B1D1的中位线，故EF∥B1D1.
由长方体的性质可知D1D綉B1B，
故四边形D1DBB1是平行四边形，故BD∥B1D1，
所以EF∥BD.
2．证明：(1)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝eq \f(1,2)AC，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四边形EFGH是平行四边形．
(2)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EH∥BD，EH＝eq \f(1,2)BD.
因为EF＝eq \f(1,2)AC，AC＝BD，所以EH＝EF.
又因为EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形．
3．答案：D
解析：如图，
∵空间两个角α，β的两边对应平行，
∴这两个角相等或互补，
∵α＝60°，
∴β＝60°或120°.故选D.
4．答案：D
解析：没有说明角的方向，故三种位置关系都有可能，选D.
5．证明：(1)如图 ，连结AC，在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，且MN＝eq \f(1,2)AC.
由正方体的性质，得
AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
∴MN∥A1C1，且MN＝eq \f(1,2)A1C1，
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知，MN∥A1C1.
又ND∥A1D1，且∠DNM与∠D1A1C1的两边的方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.
6．答案：C
解析：对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．
对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，∴B应排除．
对于D，图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴D应排除．
只有C符合定义．故选C.
7．答案：D
解析：a，b，c的位置关系有下面三种情况，如图所示，由图形分析可得答案为D.
8．答案：D
解析：a，b为异面直线，c，d分别与a，b都相交．图(1)中c，d异面，图(2)中c，d相交．
关键能力综合练
1．答案：B
解析：∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.
2．答案：C
解析：如图所示，因为G，H分别是AB，AC的中点，所以GH∥BC，又由三棱台的性质得BC∥B1C1，所以GH∥B1C1.
3．答案：D
解析：由题意可知DE∥PB，EF∥BC，所以∠DEF＝∠PBC＝90°.
4．答案：B
解析：EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
5．答案：D
解析：因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF綉eq \f(1,2)AC，
又eq \f(DH,HA)＝eq \f(2,1)，eq \f(DG,GC)＝eq \f(2,1)，所以eq \f(DH,HA)＝eq \f(DG,GC)，所以HG綉eq \f(2,3)AC，
所以EF∥HG且EF≠HG，
所以四边形EFGH为梯形．
6．答案：D
解析：如图所示，取BC的中点E，连接ME，NE，则ME＝eq \f(1,2)AC，NE＝eq \f(1,2)BD，
所以ME＋NE＝eq \f(1,2)(AC＋BD)．
在△MNE中，有ME＋NE>MN，
所以MN7．答案：0条或1条
解析：以如图所示的正方体ABCD ­ A1B1C1D1为例．令A1B1所在直线为直线l，过l外的两点A，B可以作一条直线与l平行，过l外的两点B，C不能作直线与l平行．
8．答案：矩形
解析：如图所示．
∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，
∴MN∥AC，且MN＝eq \f(1,2)AC，
PQ∥AC，且PQ＝eq \f(1,2)AC，
∴MN∥PQ，且MN＝PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
又∵AC⊥BD，NP∥BD，∴PQ⊥NP，
∴四边形MNPQ是矩形．
9．答案：eq \f(4,9)
解析：如图，eq \f(AO,A′O)＝eq \f(BO,B′O)＝eq \f(CO,C′O)＝eq \f(2,3)，
可证AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.
由等角定理∠CAB＝∠C′A′B′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴eq \f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq \f(4,9).
10．证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，
∴EF∥AB且EF＝eq \f(1,2)(AB＋CD)，
又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB.
∵G，H分别为AD′，BC′的中点，
∴GH∥AB且GH＝eq \f(1,2)(AB＋C′D′)＝eq \f(1,2)(AB＋CD)，
∴GH∥EF且GH＝EF，
∴四边形EFGH为平行四边形．
学科素养升级练
1．答案：AD
解析：如图，设BF＝2FA，连接EF，A1B，CF，AC，因为A1E＝2EA，
所以EF∥A1B，又易知A1B∥D1C，所以EF∥D1C，
故EF＝eq \f(1,3)A1B＝eq \f(\r(2),3)a，CF＝eq \r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a))2)＝eq \f(\r(13),3)a，
VA ­ EFC＝VE ­ AFC＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)a×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)a×a＝eq \f(1,54)a3.故选A，D.
2．答案：③④
解析：∵A，M，C，C1四点不共面，
∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；
同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误；
同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；
易得∠DAH＝∠CBN，故④正确．
故答案为：③④.
3．解析：(1)证明：∵AE：EB＝AH：HD，∴EH∥BD.
又∵CF：FB＝CG：GD，∴FG∥DB.
∴EH∥FG.∴E，F，G，H四点共面．
(2)当且仅当EH∥FG且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．
∵eq \f(EH,BD)＝eq \f(AE,AE＋EB)＝eq \f(m,m＋1)，∴EH＝eq \f(m,m＋1)BD.
同理FG＝eq \f(n,n＋1)BD，由EH＝FG，得m＝n.
故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．
(3)证明：当m＝n时，AE：EB＝CF：FB，∴EF∥AC.
又∵AC⊥BD，EH∥BD，
∴∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，
∴EG＝FH.
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
直线与直线平行的证明
知识点二
等角定理及应用
知识点三
异面直线的判定
关键能力综合练
进阶训练第二层
学科素养升级练
进阶训练第三层