高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.3.1 平行直线与异面直线课时练习

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1．如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的度数为________．
2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，
(1)AC和DD1所成的角是________；
(2)AC和D1C1所成的角是________；
(3)AC和B1D1所成的角是________；
(4)AC和A1B所成的角是________．
3．如图所示，四面体A­BCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度．
4.垂直于同一条直线的两条直线一定( )
A．平行B．相交
C．异面D．以上都有可能
5．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有________．
6．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1.
一、选择题
1．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )
A．有无数条B．有两条
C．至多有两条D．有一条
2．直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有( )
A．1条B．2条
C．3条D．4条
3．空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝eq \r(5)，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是( )
A．90°B．60°
C．45°D．30°
4．如图，点P，Q分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的面对角线AD1，BD的中点，则异面直线PQ和BC1所成的角为( )
A．30°B．45°
C．60°D．90°
5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A.eq \f(\r(2),2)B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(5),2)D.eq \f(\r(7),2)
6．(探究题)如图，在三棱锥D­ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于( )
A．30°B．45°
C．60°D．90°
二、填空题
7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________.
8．(易错题)在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为________．
9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论正确的为________(填序号)．
三、解答题
10．如图，已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点．证明：CD1⊥EF.
1．(多选)已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列关系可能成立的是( )
A．l与AD平行
B．l与AB异面
C．l与CD所成的角为30°
D．l与BD垂直
2．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，E是B1C1的中点，则直线AE与BC所成的角为________，直线A1B与AC1所成角的余弦值为________．
3．(学科素养——运算能力)在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝eq \r(3)，且AD⊥BC，BD＝eq \f(\r(13),2)，AC＝eq \f(\r(3),2)，求AC与BD所成的角的大小．
11．4 空间中的垂直关系
11．4.1 直线与平面垂直
第1课时 直线与直线所成角
必备知识基础练
1．答案：60°
解析：依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
2．答案：(1)90° (2)45° (3)90° (4)60°
解析：(1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°.
(2)∵D1C1∥DC，所以∠ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得∠ACD＝45°.
(3)∵BD∥B1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°.
(4)∵A1B∥D1C，△ACD1是等边三角形，所以AC和A1B所成的角是60°.
3．解析：取BC的中点M，连接ME，MF，如图．则ME∥AC，MF∥BD，
∴ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°，
∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.
当∠EMF＝60°时，EF＝ME＝MF＝eq \f(1,2)BD＝1；
当∠EMF＝120°时，取EF的中点N，则MN⊥EF，
∴EF＝2EN＝2EM·sin∠EMN＝2×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).
故EF的长度为1或eq \r(3).
4．答案：D
解析：由空间直线的位置关系可知选D.
5．答案：AB，A1B1
解析：由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1.
6．证明：如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，因为三棱柱ABC ­ A1B1C1是直三棱柱，
所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，
所以BCeq \\al(2,1)＝b2＋h2，AB2＝a2＋b2，
A1B2＝a2＋b2＋h2，
所以A1B2＝A1Ceq \\al(2,1)＋BCeq \\al(2,1)，
则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.
又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，所以AC⊥BC1.
关键能力综合练
1．答案：A
解析：如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角，除去两条与l共面的母线，其余都符合要求．
2．答案：B
解析：和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，故选B.
3．答案：A
解析：∠PQR(或其补角)为所求，由勾股定理的逆定理可知∠PQR＝90°.
4．答案：C
解析：连接AC，D1C.
由P，Q分别为AD1，BD的中点，得PQ∥CD1.
又BC1∥AD1，∴∠AD1C为异面直线PQ和BC1所成的角．
∵△ACD1为等边三角形，∴∠AD1C＝60°.即异面直线PQ和BC1所成的角为60°.
5．答案：C
解析：如图，连接BE，∵AB∥CD，
∴异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.
不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝eq \r(5)，AC＝2eq \r(2)，AE＝3.
∴AB2＋BE2＝AE2，∴AB⊥BE，
∴tan∠EAB＝eq \f(BE,AB)＝eq \f(\r(5),2).
6．答案：B
解析：如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.
∵E，F分别是CD，AB的中点，
∴FG∥AC，EG∥BD，
且FG＝eq \f(1,2)AC，EG＝eq \f(1,2)BD.
∴∠EFG为EF与AC所成的角(或其补角)．
又∵AC＝BD，∴FG＝EG.
又∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.
7．答案：5
解析：取AD的中点P，连接PM，PN，
则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，PN＝eq \f(1,2)AC＝4，
PM＝eq \f(1,2)BD＝3，∴MN＝5.
8．答案：15°或75°
解析：如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG∥AB且EG＝eq \f(1,2)AB，
GF∥CD且GF＝eq \f(1,2)CD，
由AB＝CD知EG＝FG，
从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角．
∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
9．答案：①③
解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
10．证明：如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.
∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝eq \f(1,2)BC，
∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝eq \f(1,2)BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．
又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，
又G为CD1的中点，
∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，
∴CD1⊥EF.
学科素养升级练
1．答案：BCD
解析：在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，
l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行．
由于AD∥B1C1，∴l必与直线AD不平行．其他均可能成立．故选BCD.
2．答案：90° eq \f(\r(3),3)
解析：连接AB1(图略)，由三棱柱的性质可得AC1＝AB1，又因为E是B1C1的中点，所以AE⊥B1C1，又BC∥B1C1，所以AE⊥BC，即直线AE与BC所成的角为90°.
如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC­A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．设AB＝a，
∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，
∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cs 30°＝eq \r(3)a.
又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，AD＝eq \r(2)a，
∴A1D1＝eq \r(2)a，
∴A1Deq \\al(2,1)＋A1B2＝BDeq \\al(2,1)，∴∠BA1D1＝90°，
∴在Rt△BA1D1中，cs∠A1BD1＝eq \f(A1B,BD1)＝eq \f(a,\r(3)a)＝eq \f(\r(3),3).
3.
解析：如图，在空间四边形ABCD中，分别取AB，AD，CD，AC的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GE，EH，HG.
由中位线的性质，
得EF綉eq \f(1,2)BD，FG綉eq \f(1,2)AC，
则∠EFG为BD与AC所成的角(或其补角)，
又EH∥BC，HG∥AD，且AD⊥BC，所以EH⊥HG，
所以EG2＝EH2＋HG2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)BC))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AD))2＝eq \f(1,4)×(eq \r(3))2＋eq \f(1,4)×12＝1.
在△EFG中，EF2＝eq \f(1,4)BD2＝eq \f(13,16)，FG2＝eq \f(1,4)AC2＝eq \f(3,16)，EG2＝EF2＋FG2＝1，所以∠EFG＝90°，
即AC与BD所成的角为90°.
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
异面直线所成的角
知识点二
直线与直线垂直
关键能力综合练
进阶训练第二层
学科素养升级练
进阶训练第三层