人教B版 (2019)必修 第四册11.4.1 直线与平面垂直课后测评

第2课时　直线与平面垂直及其判定定理

1.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　)

A．平行B．相交

C．异面D．垂直

2．下列命题中，正确的序号是________．

①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；

②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；

④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；

⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.

3.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．

①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．

4．如图所示，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．

(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.

5.如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．

6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，

(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；

(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．

一、选择题

1．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是(　　)

A．垂直且相交B．相交但不一定垂直

C．垂直但不相交D．不垂直也不相交

2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(　　)

A．有且只有一个B．至多有一个

C．有一个或无数个D．不存在

3．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为(　　)

A．30°B．45°　

C．60°D．120°

4．(易错题)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是(　　)

A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥β

C．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β

5．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为(　　)

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．无法确定

6．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　)

A．AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH所在平面

C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面

二、填空题

7．平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________．

8．如图所示，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________．

9．(探究题)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(答案不唯一，填上你认为正确的一种条件即可)．

三、解答题

10．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．

(1)求证：AN⊥平面PBM；

(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.

1．(多选)如图所示，四棱锥S­ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是(　　)

A．AC⊥SB

B．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

2．已知三棱锥S­ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为________．

3．(学科素养——运算能力)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点．

(1)求证：EF∥平面A1B1BA；

(2)求证：直线AE⊥平面BCB1；

(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．

第2课时　直线与平面垂直及其判定定理

必备知识基础练

1．答案：A

解析：若l∥m，又l⊄α，m⊂α，∴l∥α，

这与已知l⊥α矛盾．

所以直线l与m不可能平行．

2．答案：④⑤

解析：当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．故填④⑤.

3．答案：①③

解析：由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直．

4．证明：(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.

在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB，

∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.

又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥平面ABC.

(2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.

又由(1)知SD⊥BD，

于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线．

∴BD⊥平面SAC.

5．解析：由题意知A是M在平面ABC上的射影，

∴MA⊥平面ABC，

∴MC在平面CAB上的射影为AC.

∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．

又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，

∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝.

在Rt△MAB中，MA＝＝＝3.

在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝.

即MC与平面CAB所成角的正弦值为.

6．解析：(1)∵AB⊥平面AA1D1D，

∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，

在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，

∴∠AA1B＝45°，

∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.

(2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.

∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，

∴A1O⊥平面BB1D1D，

∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角．

设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝.

又∵∠A1OB＝90°，

∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°，

∴∠A1BO＝30°，

∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.

关键能力综合练

1．答案：C

解析：取BD中点O，连接AO，CO，

则BD⊥AO，BD⊥CO，

且AO∩CO＝O，

∴BD⊥平面AOC，

又AC⊂平面AOC，

∴BD⊥AC，

又BD，AC异面，∴选C.

2．答案：B

解析：若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．

3．答案：C

解析：如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝AB，∠ABC为AB所在直线与平面α所成的角．

在Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝，∴∠ABC＝60°，即AB与平面α所成的角为60°.

4．答案：B

解析：A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.

5．答案：B

解析：易证AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC.

6．答案：B

解析：根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，可推出AH⊥平面EFH.

7．答案：垂直

解析：因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理PO⊥BD，又AC∩BD＝O，所以PO⊥平面ABCD.

8．答案：45°

解析：因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.

9．答案：A1C1⊥B1C1(答案不唯一)

解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)

10．证明：(1)∵AB为⊙O的直径，

∴AM⊥BM.

又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PA⊥BM.

又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，

∴BM⊥平面PAM.

又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.

又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM，

∴AN⊥平面PBM.

(2)由(1)知AN⊥平面PBM，

又PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.

又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，

∴PB⊥平面ANQ.

又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.

学科素养升级练

1．答案：ABC

解析：对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确．

2．答案：

解析：如图所示，取BC的中点D，连接SD，AD，则BC⊥AD.

过点A作AG⊥SD于点G，连接GB.

∵SA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，

∴BC⊥SA，又SA∩AD＝A，

∴BC⊥平面SAD.

又AG⊂平面SAD，∴AG⊥BC.

又AG⊥SD，SD∩BC＝D，∴AG⊥平面SBC.

∴∠ABG即为直线AB与平面SBC所成的角．

∵AB＝2，SA＝3，∴AD＝，SD＝2.

在Rt△SAD中，AG＝＝.

∴sin∠ABG＝＝＝.

3．解析：(1)证明：如图，连接A1B.

在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.

又因为EF⊄平面A1B1BA，BA1⊂平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.

(2)证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，又AE⊂平面ABC，从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCB1，所以AE⊥平面BCB1.

(3)取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.又因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．

在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.

因为BM∥AA1，BM＝AA1，

所以四边形MBAA1为平行四边形，

所以A1M∥AB，A1M＝AB，

又由AB⊥BB1，得A1M⊥BB1.

在Rt△A1MB1中，

可得A1B1＝＝4.

在Rt△A1NB1中，

sin∠A1B1N＝＝，

因此∠A1B1N＝30°.

所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.