高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.1 直线与平面垂直同步训练题

第3课时　直线与平面垂直的性质及应用

1.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　)

A．相交B．异面

C．平行D．不确定

2．已知a，b，c为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：①a⊥α，b∥β，且α∥β⇒a⊥b；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a⊥α，b⊥α，a∥c⇒b∥c；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β.其中不正确的有(　　)

A．1个B．2个

C．3个D．4个

3．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.

证明：AE∥MN.

4．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥平面BCC1B1，F为B1C1的中点．求证：直线A1F∥平面ADE.

5.在四棱台ABCD­A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离为________．

6．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，取对角线BD上一点E，连接PE，PE⊥DE，则PE的长为__________.

一、选择题

1．直线l垂直于平面α，m⊂α，则有(　　)

A．l∥mB．l和m异面

C．l和m相交D．l和m不平行

2．若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线(　　)

A．只有一条B．有无数条

C．是平面内的所有直线D．不存在

3．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(　　)

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C．若m⊥α，n∥α，则m∥n

D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

4．地面上有两根相距a米的旗杆，它们的高分别是b米和c米(b>c)，则它们上端的距离为(　　)

A.B.

C.D.

5．PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系不正确的是(　　)

A．PA⊥BCB．BC⊥平面PAC

C．AC⊥PBD．PC⊥BC

6．(探究题)在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为(　　)

A．2B．7

C.D.

二、填空题

7．已知A，B两点在平面α的同侧，且它们与平面α的距离相等，则直线AB与平面α的位置关系是________．

8．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．

9．△ABC的三个顶点A，B，C到平面α的距离分别为2cm,3cm,4cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为__________．

三、解答题

10．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：MN∥平面PAD；

(2)求证：AB⊥MN.

1．(多选)如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上异于AB的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的投影，则(　　)

A．AF⊥PB

B．EF⊥PB

C．AF⊥BC

D．AE⊥平面PBC

2．如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在(　　)

A．直线AB上B．直线BC上

C．直线AC上D．△ABC内部

3．(学科素养——直观想象＋逻辑推理)

如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝，PA＝，∠ABC＝120°.G为线段PC上的点．

(1)证明：BD⊥平面APC；

(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成角的正切值；

(3)若G满足PC⊥平面BGD，求的值．

第3课时　直线与平面垂直的性质及应用

必备知识基础练

1．答案：C

解析：∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，∴l∥m.

2．答案：B

解析：①正确；②中b⊂α有可能成立，故②不正确；③正确；④中a⊂β有可能成立，故④不正确．故选B.

3．证明：因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.

因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.

又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.

因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.

又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，

所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.

4．证明：因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，

所以A1F⊥B1C1.

因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，

所以CC1⊥A1F.

又CC1⊂平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，

所以A1F⊥平面BCC1B1.

又AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.

又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，

所以A1F∥平面ADE.

5．答案：4

解析：显然，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，距离处处相等，故为4.

6．答案：

解析：如图所示，连接AE.

因为PA⊥平面ABCD，

BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD.

又因为BD⊥PE，PA∩PE＝P，

所以BD⊥平面PAE，所以BD⊥AE.

所以AE＝＝.所以在Rt△PAE中，

由PA＝1，AE＝，得PE＝.

关键能力综合练

1．答案：D

解析：因为l⊥α，m⊂α，所以l⊥m，则l和m可能相交，也可能异面，即l和m不平行．

2．答案：B

解析：当a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当a⊂α时，在α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；当直线a与平面α相交但不垂直时，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直，故选B.

3．答案：B

解析：由题可知，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A错误；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，n∥α，则m⊥n，故C错误；若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α或n与α相交或n⊂α，故D错误．

4．答案：D

解析：如图，由线面垂直的性质定理可知AB∥CD，作AE⊥CD于E，则DE＝b－c，故AD＝.

5．答案：C

解析：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，A选项正确；又∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，∴B，D选项均正确．故选C.

6．答案：A

解析：如图所示，因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小．由条件知AC＝4，BC＝4，故CM的最小值为2，又PC＝4，则PM的最小值为＝2.

7．答案：平行

8．答案：平行

解析：∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，

即l⊂α，∴l⊥EA.同理l⊥EB.

又EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.

∵EB⊥β，a⊂平面β，∴EB⊥a.

又a⊥AB，EB∩AB＝B，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.

9．答案：3 cm

解析：如图，设A，B，C在平面α上的射影分别为A′，B′，C′，△ABC的重心为G，连接CG并延长交AB于中点E，

又设E，G在平面α上的射影分别为E′，G′，

则E′∈A′B′，G′∈C′E′，EE′＝(A′A＋B′B)＝，CC′＝4，CG：GE＝2：1，

在直角梯形EE′C′C中，取GC，G′C′中点H，H′，

设GG′＝x1，HH′＝x2，

则则x1＝3，即可求得GG′＝3.

10．证明：(1)取PD中点Q，连接AQ，NQ.

∵N是PC中点，

∴NQ綉DC，

又∵M是AB中点，

∴AM綉DC，

∴AM綉NQ，

∴四边形AQNM是平行四边形．∴MN∥AQ.

∵MN⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，

∴MN∥平面PAD.

(2)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.

又∵底面ABCD为矩形，

∴AB⊥AD.又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，

∴AB⊥平面PAD，又AQ⊂平面PAD，

∴AB⊥AQ.

又∵AQ∥MN，∴AB⊥MN.

学科素养升级练

1．答案：ABC

解析：对于A，因为PA⊥平面ABC，故PA⊥BC，又BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，从而BC⊥AF，又AF⊥PC，故AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，AF⊥BC，故A，C正确；对于B，由选项A知AF⊥PB，而AE⊥PB，从而PB⊥平面AEF，故EF⊥PB，故B正确；对于D，由上面过程可知，AE与平面PBC不垂直，故D不正确．

2．答案：A

解析：在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD.

又∵AC⊂平面ABC，

∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，

D在平面ABC内的射影H必在AB上．故选A.

3．解析：(1)证明：设点O为AC，BD的交点．

由AB＝BC，AD＝CD，得BD垂直平分线段AC.

所以O为AC的中点，BD⊥AC.

又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD.

又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面APC.

(2)连接OG.由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面PAC所成的角．由题意得OG＝PA＝.

在△ABC中，

因为AB＝BC，∠ABC＝120°，AO＝CO，

所以∠ABO＝∠ABC＝60°，

所以AO＝OC＝AB·sin 60°＝.

在Rt△OCD中，

OD＝＝2.

在Rt△OGD中，

tan∠OGD＝＝.

所以DG与平面APC所成角的正切值为.

(3)因为PC⊥平面BGD，OG⊂平面BGD，所以PC⊥OG.

在Rt△PAC中，PC＝＝.

所以GC＝＝.

从而PG＝，所以＝.