数学1.4 空间向量的应用第1课时精练

课后素养落实(六)　空间中点、直线和平面的向量表示

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知向量a＝(2，－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　)

A．－1　　　　　　 B．1或－1

C．－3 D．1

A　[由题意知a∥b，则有＝＝，解得x＝－1，故选A．]

2．(多选题)若是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以下各式成立的是(　　)

A．⊥ B．⊥

C．⊥ D．⊥

ABC　[由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面内的线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．]

3．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：＝＋＋，则(　　)

A．O，A，B，C四点必共面

B．P，A，B，C四点必共面

C．O，P，B，C四点必共面

D．O，P，A，B，C五点必共面

B　[对于空间任一点O和不共线三点A，B，C，若点P满足＝x＋y＋z(x，y，z∈R)且x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点共面．而＝＋＋，其中＋＋＝1，所以P，A，B，C四点共面．故选B．]

4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是(　　)

A．(1,1，－1) B．(1，－1,1)

C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)

D　[＝(－1,1,0)＝(－1,0,1)，

设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则即x＝y＝z，故选D．]

5.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是(　　)

A．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)

B．平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)

C．平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)

D．平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)

AC　[对于A，由AD⊥平面ABB1A1知＝(0,1,0)是平面ABB1A1的一个法向量，故A正确．

对于B，由BC1⊥平面B1CD知＝＝(0,1,1)是平面B1CD的一个法向量，故B错误．

对于C，由AC1⊥平面B1CD1知＝(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量，故C正确．

对于D，由DA1⊥平面ABC1D1知＝(0，－1,1)是平面ABC1D1的一个法向量，故D错误．综上，选AC．]

二、填空题

6.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有________个．

8　[寻找直线AB的方向向量，先找出与直线AB平行或重合的直线，以直线上任意两点分别为起点和终点的向量即为所求．直线AB的方向向量有：，，，，，，，，共8个．]

7.如图，在正三棱锥S­ABC中，点O是△ABC的中心，点D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是________，平面SAD的一个法向量可以是________．

　(答案不唯一)　[在正三棱锥S­ABC中，点O是△ABC的中心，点D是棱BC的中点，∴SO⊥平面ABC，BC⊥平面SAD，∴是平面ABC的一个法向量，是平面SAD的一个法向量．]

8．已知向量b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)，若在直线AB上，存在一点E，使得⊥b(O为原点)，则E点的坐标为________．

　[＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，因为⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，

解得t＝，因此存在点E，使得⊥b，此时E点的坐标为.]

三、解答题

9．已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，－2)．

(1)写出直线BC的一个方向向量；

(2)设平面α经过点A，且BC是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．

[解]　(1)∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)，

∴＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC的一个方向向量．

(2)由题意＝(x－2，y－2，z－2)，

∵⊥平面α，AM⊂α，

∴⊥，

∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0.

∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0.

∴x－y＋z＝2.

10.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量．

[证明]　设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)，F，A1(1,0,1)，

＝，

＝，＝(－1,0,0)．

∵·＝·

＝－＝0，

·＝0，

∴⊥，⊥.

又A1D1∩D1F＝D1，

∴AE⊥平面A1D1F，

∴是平面A1D1F的法向量．

1．已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　)

A．(1,1,1) B．

C． D．

B　[设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，又＝(0，－1,1)，＝(－1,1,0)，则

∴x＝y＝z，又∵单位向量的模为1，故只有B正确．]

2．已知空间三点坐标分别为A(1,1,1)，B(0,3,0)，C(－2，－1,4)，点P(－3，x,3)在平面ABC内，则实数x的值为(　　)

A．1 B．－2

C．0 D．－1

A　[＝(1，－2,1)，＝(－2，－4,4)，＝(－3，x－3,3)，可设＝y＋z(y，z∈R)，则⇒故选A．]

3．若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.

2∶3∶(－4)　[由已知得，＝，＝，

∵a是平面α的一个法向量，

∴a·＝0，a·＝0，

即

解得

∴x∶y∶z＝y∶y∶

＝2∶3∶(－4)．]

4．已知点A(1,1，－4)，B(2，－4,2)，C为线段AB上的一点，且＝，则C点坐标为________．

　[设C(x，y，z)，＝(x－1，y－1，z＋4)，＝(1，－5,6)，

由＝得

∴∴C.]

如图所示，在四棱锥S­ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．

[解]　

以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，

则＝，＝.

向量＝是平面SAB的一个法向量．

设n＝(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，

则

即

取x＝2，得y＝－1，z＝1，

故平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)．