高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程课时作业

课后素养落实(十三)　直线的点斜式方程

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线的点斜式方程为(　　)

A．y－2＝－(x＋4)

B．y－(－2)＝－(x－4)

C．y－(－2)＝(x－4)

D．y－2＝(x＋4)

B　[所求直线的斜率k＝tan 150°＝－，直线的点斜式方程为y－(－2)＝－(x－4)，故选B．]

2．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　)

A．y＝x＋4　 B．y＝2x＋4

C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4

D　[由题意知，所求直线的斜率为－，因此所求直线的斜截式方程为y＝－x＋4，故选D．]

3．已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于(　　)

A．2　　　　B．1　　　　C．0　　　　D．－1

B　[由于两条直线平行，∴a＝2－a，

解得a＝1，验证知适合条件．]

4．下列直线中过第一、二、四象限的是(　　)

A．y＝2x＋1 B．y＝x＋

C．y＝－2x＋4 D．y＝x－3

C　[若直线y＝kx＋b过第一、二、四象限，则k<0，b>0，选项A，B，D中直线的斜率都大于0，只有C满足k<0，b>0.]

5．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是(　　)

A　　　　　B　　　　C　　　　D

C　[A中，y＝ax，a＞0，y＝x＋a的图象错误；B中，y＝ax，a＞0，y＝x＋a的图象错误；D中，y＝ax，a＜0，y＝x＋a的图象错误．]

二、填空题

6．直线l的方向向量为(1,3)，且在y轴上的截距为－2的斜截式方程为________．

y＝3x－2　[由于直线l的方向向量为(1,3)，也就是直线的斜率为k＝3，又因直线在y轴上的截距为－2，故方程为y＝3x－2.]

7．一条直线经过点A(2，－)，并且它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则这条直线的点斜式方程是________．

y－(－)＝(x－2)　[∵直线y＝x的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，

即斜率k＝tan 60°＝.

又该直线过点A(2，－)，

故所求直线为y－(－)＝(x－2)．]

8．若直线y＝2x－2绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程为________．

y－4＝－(x－3)　[逆时针旋转90°即与y＝2x－2垂直，由于y＝2x－2的斜率为2，则所求直线的斜率为－，又因过点(3,4)，故直线方程为y－4＝－(x－3)．]

三、解答题

9．根据条件写出下列直线方程的斜截式．

(1)经过点A(3,4)，在x轴上的截距为2；

(2)斜率与直线x＋y＝0相同，在y轴的截距与直线y＝2x＋3的相同．

[解]　(1)法一：易知直线的斜率存在，

设直线方程为y＝k(x－2)，

∵点A(3,4)在直线上，

∴k＝4，∴y＝4×(x－2)＝4x－8，

∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.

法二：由于直线过点A(3,4)和点(2,0)，

则直线的斜率k＝＝4，

由直线的点斜式方程得y－0＝4×(x－2)＝4x－8，

∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.

(2)因为直线x＋y＝0的方程可化为y＝－x，斜率为－1，

又直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3，

所以所求直线方程的斜截式为y＝－x＋3.

10．三角形的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)．

(1)求BC边上的高所在直线的方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的方程．

[解]　(1)BC边所在直线的斜率为

kBC＝＝，因为BC所在直线的斜率与BC高线的斜率乘积为－1，所以BC高线的斜率为－.又因为BC高线所在的直线过A(4,0)，

所以BC高线所在的直线方程为

y－0＝－(x－4)，即3x＋2y－12＝0.

(2)设BC中点为M，则中点M(3,5)，又kAM＝－5，所以BC边上的中线AM所在的直线方程为y＝－5(x－3)＋5，即5x＋y－20＝0.

1．已知直线l1的方程是y＝ax＋b，l2的方程是y＝bx－a(ab≠0，a≠b)，则下列图形中，正确的是(　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　　D

D　[逐一判定即可．对于选项A，由l1的图象知a>0，b>0，由l2的图象知a<0，b<0，矛盾，故A错误；对于选项B，由l1的图象知a>0，b<0，由l2的图象知a<0，b>0，矛盾，故B错误；对于选项C，由l1的图象知a<0，b>0，由l2的图象知a<0，b<0，矛盾，故C错误；对于选项D，由l1的图象知a<0，b>0，由l2的图象知a<0，b>0，故D正确．]

2．(多选题)若直线l经过点P(2,3)，且在x轴上的截距的取值范围是(－1,3)，则其斜率k的可能取值是(　　)

A．2 B．－2

C．3 D．－4

ACD　[取x轴上的点M(－1,0)，N(3,0)，则kPM＝＝1，kPN＝＝－3.

∵直线l与线段MN相交(不包含端点)，

∴k>1或k<－3.]

3．直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________．

(－∞，0]　[当k＝0时，直线y＝2不过第三象限；

当k>0时，直线过第三象限；

当k<0时，直线不过第三象限．]

4．已知直线l：y＝－x＋与直线l′：y＝x－平行，且直线l与y轴的交点为(0,1)，则a＝________，b＝________.

－　2　[由直线l：y＝－x＋与直线l′：y＝x－平行，且直线l与y轴的交点为(0,1)，

得解得]

直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．

[解]　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2.

令y＝0得，x＝，

由三角形的面积为2，得××2＝2.

解得k＝.

可得直线l的方程为y－2＝(x－2)，

综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝(x－2)．