人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式当堂达标检测题

课后素养落实(十七)　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知A(－2，－4)，B(1,5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为(　　)

A．－3　　　 B．3　　　 C．－3或3　　　D．1或3

C　[由题意得＝，解得a＝－3或3.]

2．若两条直线l1：x＋2y－6＝0与l2：2x＋ay＋8＝0平行，则l1与l2之间的距离是(　　)

A．2 B． 

C． D．

A　[两条直线l1：x＋2y－6＝0与l2：2x＋ay＋8＝0平行，

则＝≠，解得a＝4.

所以2x＋4y＋8＝0可化为x＋2y＋4＝0，

所以两直线间的距离d＝＝＝2.故选A．]

3．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)

A． B． 

C． D．

C　[由于直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，所以|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离，即|PQ|min＝＝.]

4．已知直线l：kx－y＋2＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(　　)

A． B． 

C． D．3

B　[直线l：kx－y＋2＝0恒过点(0,2)，

∴M(0,2)．

∵点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，

∴|MP|的最小值为点M到直线2x＋y－1＝0的距离，

∴d＝＝＝.故选B．]

5．两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞) B．[0,5] 

C．(0,5] D．[0，]

C　[当两条平行直线l1，l2与直线PQ垂直时，l1，l2间的距离最大，最大距离为|PQ|＝＝5，所以l1，l2之间的距离的取值范围是(0,5]．]

二、填空题

6．若直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝________.

　[由题意得直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0平行，又直线l2：2x＋6y－3＝0的方程可化为x＋3y－＝0，∴两直线的距离d＝＝，得m＝－或m＝.∵m>0，∴m＝.]

7．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．

5　[两条直线方程为x＝－2和x＝3，从而两条平行线间的距离为|3－(－2)|＝5.]

8．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1)，B(3,4)，C(－2，－1)，则△ABC的面积为________．

5　[由两点式得AB的直线方程为＝，

即3x－y－5＝0.再由点到直线的距离公式得点C到直线AB的距离为d＝＝.又|AB|＝＝.∴S△ABC＝××＝5.]

三、解答题

9．求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程．

[解]　法一：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，不合题意，因此直线l的斜率存在，设为k.

又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.

由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l的距离相等，

得＝，

解得k＝0或k＝1.

∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.

法二：当直线l过线段AB的中点时，

直线l与点A，B的距离相等．

∵AB的中点是(－1,1)，又直线l过点P(0,2)，

∴直线l的方程是x－y＋2＝0；

当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等．

∵直线AB的斜率为0，∴直线l的斜率为0，

∴直线l的方程为y＝2.

综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.

10．已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程．

[解]　由解得

所以中心坐标为(－1,0)．

所以中心到已知边的距离为

＝.

设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0.

因为正方形中心到各边距离相等，

所以＝和＝.

所以m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0.

所以其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0.

1．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为(　　)

A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0

C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0

C　[由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，∵kAB＝＝，∴kl＝－3，由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.]

2．一束光线从点A(1,0)处射到y轴上一点B(0,2)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是(　　)

A．x＋2y－2＝0 B．2x－y＋2＝0

C．x－2y＋2＝0 D．2x＋y－2＝0

B　[点A(1,0)关于y轴的对称点A′(－1,0)在反射光线所在的直线上，因此反射光线所在直线的截距式方程为＋＝1，即2x－y＋2＝0，故选B．]

3．已知a，b，c为直角三角形的三边长，c为斜边长，若点M(m，n)在直线l：ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为________．

4　[因为a，b，c为直角三角形中的三边长，

c为斜边长，所以c＝，

又因为点M(m，n)在直线l：ax＋by＋2c＝0上，

所以m2＋n2表示直线l上的点到原点距离的平方，

所以m2＋n2的最小值为原点到直线l距离的平方，

由点到直线的距离公式可得d＝＝2，

所以m2＋n2的最小值为d2＝4.]

4．设直线l1：x＋3y－7＝0与直线l2：x－y＋1＝0的交点为P，则P到直线l：x＋ay＋2－a＝0的距离最大值为________．

　[由得故P(1,2)．

直线l的方程可整理为x＋2＋a(y－1)＝0，故直线l过定点Q(－2,1)．

因为P到直线l的距离d≤|PQ|，当且仅当l⊥PQ时等号成立，所以dmax＝＝.]

已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．

(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；

(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．

[解]　(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，

则

解得

故A′(－2,8)．

因为P为直线l上的一点，

则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，

当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，

则得

故所求的点P的坐标为(－2,3)．

(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，

则||PB|－|PA||≤|AB|，

当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，则得

故所求的点P的坐标为(12,10)．