高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精练

课后素养落实(十九)　圆的一般方程

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(多选题)若a∈，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为(　　)

A．－2　　　　B．0　　　　C．1　　　　D．

ABD　[若方程表示圆，则满足(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即a<1，所以ABD正确．]

2．与圆C：x2＋y2－2x＋4y－1＝0有相同的圆心，且半径是圆C的半径的一半的圆的方程为(　　)

A．x2＋y2－2x＋4y＋2＝0

B．x2＋y2－2x＋4y＋1＝0

C．x2＋y2－2x＋4y－＝0

D．x2＋y2－2x＋4y＋＝0

D　[易知圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝6，所以圆C的圆心坐标为(1，－2)，半径为，故所求圆的圆心坐标为(1，－2)，半径为，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝＝，即x2＋y2－2x＋4y＋＝0.]

3．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为，则a＝(　　)

A．0或－1　　　 B．0

C．7 D．－1或7

D　[将x2＋y2－2x－8y＋13＝0整理得(x－1)2＋(y－4)2＝4，

所以圆的圆心坐标为(1,4)，

所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝，

整理得a2－6a－7＝0，解得a＝－1或a＝7.]

4．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有(　　)

A．D＋E＝0 B．D＝E

C．D＝F D．E＝F

B　[由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，故有－＝－，即D＝E.]

5．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)

A．π　　　　B．4π　　　　 C．8π　　　　D．9π

B　[设P(x，y)，由条件知＝2，整理得x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，故点P的轨迹所包围的图形面积等于4π.]

二、填空题

6．如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是________．

　[由题意知(－2)2＋12－4k>0，解得k<.]

7．若直线x＋y＋a＝0平分圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的面积，则实数a＝________.

1　[根据题意，圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，

其圆心为(1，－2)．

因为直线x＋y＋a＝0平分圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的面积，所以圆心(1，－2)在直线x＋y＋a＝0上，

则有a＋1－2＝0，解得a＝1.]

8．已知点A(1,2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0外部，则实数m的取值范围是________．

　[由点A(1,2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0的外部．

得1＋4＋2＋6＋m>0，解得m>－13.

又由4＋9－4m>0得m<，

所以－13<m<.]

三、解答题

9．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程．

[解]　圆心C，因为圆心在直线x＋y－1＝0上，所以－－－1＝0，即D＋E＝－2，①

又r＝＝，

所以D2＋E2＝20，②

由①②可得或

又圆心在第二象限，所以－<0，即D>0，所以所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.

10.如图，已知正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(0，－2)，B(4，－2)，C(4,2)，D(0,2)．

(1)求对角线AC所在直线的方程；

(2)求正方形ABCD外接圆的方程；

(3)若动点P为外接圆上一点，点N(－2,0)为定点，问线段PN中点的轨迹是什么？并求出该轨迹方程．

[解]　(1)由两点式可知，对角线AC所在直线的方程为＝，整理得x－y－2＝0.

(2)设G为外接圆的圆心，则G为AC的中点，∴G，即(2,0)，

设r为外接圆的半径，则r＝|AC|，

则|AC|＝＝4，

∴r＝2.

∴外接圆方程为(x－2)2＋y2＝8.

(3)设点P坐标为(x0，y0)，线段PN的中点M坐标为(x，y)，则x＝，y＝，

∴x0＝2x＋2，y0＝2y，①

∵点P为外接圆上一点，∴(x0－2)2＋y＝8，

将①代入并整理，得x2＋y2＝2，

∴该轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，轨迹方程为x2＋y2＝2.

1．已知圆x2＋y2－2mx－(4m＋2)y＋4m2＋4m＋1＝0(m≠0)的圆心在直线x＋y－7＝0上，则该圆的面积为(　　)

A．4π B．2π 

C．π D．

A　[圆的方程可化为(x－m)2＋(y－2m－1)2＝m2(m≠0)，其圆心为(m,2m＋1)．

依题意得，m＋2m＋1－7＝0，解得m＝2，

∴圆的半径为2，面积为4π，故选A．]

2．已知圆C：x2＋y2＝4，则圆C关于直线l：x－y－3＝0对称的圆的方程为(　　)

A．x2＋y2－6x＋6y＋14＝0

B．x2＋y2＋6x－6y＋14＝0

C．x2＋y2－4x＋4y＋4＝0

D．x2＋y2＋4x－4y＋4＝0

A　[设圆心C(0,0)关于直线l：x－y－3＝0的对称点为D(a，b)，则由解得

所以所求的圆的方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝4，化为一般方程为x2＋y2－6x＋6y＋14＝0.故选A．]

3．已知圆x2＋y2＋4x－6y＋a＝0关于直线y＝x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．

(－∞，8)　[由题意知，直线y＝x＋b过圆心，而圆心坐标为(－2,3)，代入直线方程，得b＝5，

所以圆的方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝13－a，

所以a<13，由此得a－b<8.]

4．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．

(0，－1)　[∵r＝＝，∴当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．]

在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．

最小覆盖圆满足以下性质：

①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆．

②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．

已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4,0)，C(0,2)，D(－4,0)为曲线W上不同的四点．

(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程．

(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程．

(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程．

[解]　(1)由题意，得t＝－2，

由于△ABC为锐角三角形，其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆．

设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则解得

所以△ABC的最小覆盖圆的方程为x2＋y2－3x－4＝0.

(2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆，

所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.

又因为|OA|＝|OC|＝2<4(O为坐标原点)，所以点A，C都在圆内．

所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.

(3)由题意知曲线W为中心对称图形．

设P(x0，y0)，则x＋y＝16.

所以|OP|2＝x＋y(O为坐标原点)，且－2≤y0≤2.

故|OP|2＝x＋y＝16－y＋y

＝－＋，

所以当y＝时，|OP|max＝，

所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝.